Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 3.5. Пространство между бесконечно длинными коаксиальными идеально проводящими цилиндрами радиусов $a,b$ заполнено веществом с проводимостью $\sigma(r)=\alpha r^n$. Найти распределение потенциала в пространстве между цилиндрами и сопротивление на единицу длины. Потенциалы цилиндров: $U(a)=0,$ $U(b)=U_0$. ----- Так как мы рассматриваем установившееся состояние, когда заряды уже нигде не накапливаются, то $ \text{div}\vec j = 0. Следовательно: $ \[ \text{div}\left( {\sigma \vec E} \right) = - \left( {\nabla ,\sigma \nabla \varphi } \right) = 0, \] тогда \[ \sigma \Delta \varphi + \left( {\nabla \sigma ,\nabla \varphi } \right) = 0. \] В цилиндрической системе координат из--за симметрии задачи зависимость будет только от $r$, тогда \[ \alpha r^n \frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{d\varphi }}{{dr}}} \right) + \alpha nr^{n - 1} \frac{{d\varphi }}{{dr}} = 0, \] тогда \[ r \frac{d}{dr} \left( \frac{d \varphi }{dr}\right) + \left( {n + 1} \right) \frac{{d\varphi }}{{dr}} = 0. \] Интегрируя придём к \[ \frac{d \varphi }{dr} = Ar^{-(n+1)}. \] Интегрируя ещё раз $$ \varphi = A'r^k +C. $$ С учётом граничный условий \(\varphi \left( a \right) = V_0\) \(\varphi \left( b \right) = 0\) придём к выражению \[ \varphi \left( r \right) = V\frac{\left( \frac br\right)^n - 1}{\left( \frac ba\right)^n - 1}. \] Ток на единицу длины вдоль \(z\) \[ I = 2\pi rj = - 2\pi r\sigma \left( r \right)\nabla \varphi = 2\pi V\frac{\alpha b^n }{\left(\frac ba\right)^n - 1} = \frac{V}{R}, \] так, что \[ R = \frac{\left(\frac ba\right)^n - 1}{2\pi \sigma _{\max } }. \]