Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. Если задано распределение заряда в пространстве --- $\rho\left(\vec{r}'\right)$, то можем найти и потенциал в произвольной точке пространства --- $\vec{r}.$ Обратим внимание, что для точки в пространстве, где наблюдаем потенциал мы используем радиус вектор без штриха, а со штрихом --- точки пространства, отвечающие за распределение заряда. Тогда потенциал: $$\varphi\left(\vec{r}\right)=\int\frac{\rho\left(\vec{r}'\right)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\,dV'.$$ Если заряд распределён дискретно, то интеграл перейдёт в сумму: $$\varphi\left(\vec{r}\right)=\sum_{i}\frac{q_{i}}{|\vec{r}-\vec{r}_{i}'|}.$$ В общем случае интеграл вычисляется далеко не всегда, но когда распределение заряда достаточно компактно и справедливо соотношение $|\vec{r}|\gg|\vec{r}'|$, то функцию $\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$ можно разложить в ряд Тейлора: $$\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}=\frac{1}{r\left(x-x',y-y',z-z'\right)}=\frac{1}{r\left(x_{1}-x_{1}',x_{2}-x_{2}',x_{3}-x_{3}'\right)}\approx$$ $$\frac{1}{r\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}+\sum_{i}\left(-x_{i}'\right)\frac{\partial}{\partial x_{i}}\frac{1}{r}+\sum_{ij}x_{i}'x_{j}'\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\frac{1}{r}+\cdots .$$ Используя нулевой член разложения $\frac{1}{r\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}$ в интеграле или сумме $$\varphi\left(\vec{r}\right)=\int\frac{\rho\left(\vec{r}'\right)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\,dV'\approx\int\frac{\rho\left(\vec{r}'\right)}{r}\,dV'=\frac{1}{r}\int\rho\left(\vec{r}'\right)\,dV'=\frac{Q}{r}$$ получим вклад от точечного заряда $Q$ расположенном в начале координат $\vec{r}'=0.$ Используя первый член разложения $$\sum_{i}\left(-x_{i}'\right)\frac{\partial}{\partial x_{i}}\frac{1}{r}=\left(-\vec{r}'\cdot\nabla\frac{1}{r}\right)=\frac{\left(\vec{r}'\cdot\vec{r}\right)}{r^{3}}$$ получим дипольное приближение $$\varphi\left(\vec{r}\right)=\frac{\left(\vec{p}\cdot\vec{r}\right)}{r^{3}}$$ с дипольным моментом $$\vec{p}=\int\vec{r}'\rho\left(\vec{r}'\right)\,dV'.$$ Дипольный член разложения становится определяющим если суммарный заряд системы равен нулю. В этом случае, как мы выясним в задаче [[res1.32|1.32]], вычисление дипольного момента не зависит от выбора точки отсчёта.