===== Корпускулярно-волновой дуализм. Фотоэффект. ===== [[z11-1|Задача 1.]] Одной из предпосылок создания квантового механики стала так называемая «ультрафиолетовая катастрофа» --- парадокс классической физики, состоящий в том, что полная мощность теплового излучения любого нагретого тела должна быть бесконечной. Название парадокс получил из--за того, что спектральная плотность энергии излучения должна была неограниченно расти по мере сокращения длины волны. Планк разрешил эту проблему, предположив, что излучение происходит квантами, и как следствие, спектральная мощность излучения абсолютно черного тела в зависимости от температуры и частоты определяется законом (законом Планка): $$ I(\omega , T)=\frac{\hbar \omega ^3}{2\pi ^2c^2}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar \omega }{kT}\right)-1}. $$ Абсолютно чёрное тело --- тело, находящееся в термодинамическом равновесии со своим излучением, тело, поглощающее всё падающее на него электромагнитное излучение во всех диапазонах и ничего не отражающее. Спектр излучения абсолютно чёрного тела определяется только его температурой. Общая энергия теплового излучения определяется законом Стефана --- Больцмана, который гласит: Мощность излучения абсолютно чёрного тела (интегральная мощность по всему спектру), приходящаяся на единицу площади поверхности, прямо пропорциональна четвёртой степени температуры тела: $$ I(T)=\sigma T^4=\frac{\pi^2 k^4}{60\hbar ^3 c^2} T^4, $$ $\sigma \approx 5,67\cdot 10^{-8}$ Вт/м$^2$К$^4$ --- константа Стефана--Больцмана. Длина волны, при которой энергия излучения абсолютно чёрного тела максимальна, определяется законом смещения Вина: $$\lambda _{max}\approx \frac{0,0029}{T}.$$ [[z11-2|Задача 2]] =====Дифракция быстрых электронов.===== Развивая идеи корпускулярно-волнового дуализма Луи де Бройль выдвинул в 1923 году гипотезу о том, что не только фотоны, но и электроны, и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами. Частица ведёт себя как волна с длиной волны (де Бройля): $$ \lambda \frac hp=\frac{2\pi \hbar}{p}, $$ где $p$ --- импульс частицы. Для макрообъектов эта длина волны ничтожна. Например, частице с массой в 1 г, движущейся со скоростью 1 м/с, соответствует волна де Бройля с $6,6 \cdot 10^{-34}$ м. Поэтому волновые свойства несущественны для макроскопических тел. Соотношение между длиной волны, межатомными расстояниями и углами описывается уравнением Брэгга. Если известна длина излучаемой и угол дифракции, то с помощью уравнения Брэгга может быть вычислено межплоскостное расстояние. Условие Вульфа-- Брэгга: $$ 2d\sin \theta = m\lambda . $$ Для структурного анализа часто используют рентгеновское излучение, но можно использовать электронный пучок (на этом основана вся электронная микроскопия). Преимущество --- не опасное излучение, «любые» длины волн, возможность управления заряженным пучком с помощью ЭМ--линз, тогда как для рентгена линз нет. Дифракция быстрых электронов --- метод исследования структуры поверхности твердых тел, основанный на анализе картин дифракции электронов с энергией 5--100 кэВ, упруго рассеянных от исследуемой поверхности под скользящими углами. [[z11-3|Задача 3]] =====Соотношение неопределённостей.===== В квантовой механике невозможно ввести понятия траектории, но состояние частицы можно характеризовать волновой функцией --- квадрат которой пропорционален плотности вероятности обнаружить частицу в определённой области пространства. Волновая функция удовлетворяет уравнению Шрёдингера: $$ \widehat{H}\Psi =E\Psi, $$ где $$ \widehat{H}=\frac{\widehat{p}^2}{2m}+\widehat{U}(x,y,z)= \frac{(-i\hbar \nabla)^2}{2m}+\widehat{U}(x,y,z)= -\frac{\hbar^2\Delta }{2m}+\widehat{U}(x,y,z) $$ --- оператор Гамильтона (Гамильтониан), $\Psi $ --- волновая функция. Принцип неопределённости Гейзенберга в квантовой механике --- фундаментальное неравенство (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих квантовую систему физических наблюдаемых, описываемых некоммутирующими операторами. Например, координаты и импульса: $$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}. $$ Чем точнее мы измеряем координату частицы, тем меньше известно о его импульсе, и наоборот. Поэтому в квантовой механике, в отличие от классической, у частицы нет траектории! [[z11-4|Задача 4]]