Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- f2s11 [2024/04/23 07:04] – root
+++ f2s11 [2024/04/23 07:05] (текущий) – root
@@ Строка 117: / Строка 117: @@
 [[z11-4|Задача 4]]
-Оцените энергию основного состояния частицы в следующих потенциалах:
-а) бесконечная прямоугольная яма шириной $a$;
-б) параболическая яма $U(x)=\frac 12 m\omega^2x^2$;
-в) кулоновский потенциал $U(r)=-\frac{e^2}{r}$.
-			\includegraphics[scale=0.5]{01}
-Неопределённость по координате в такой яме порядка $a$. Тогда неопределённость в
-импульсе имеет порядок:
-$$
-\Delta p\sim \frac{\hbar}{2a}.
-$$
-Энергия частицы связана с импульсом соотношением:
-$$
-E=\frac{p^2}{2m}.
-$$
-Энергию основного состояния можно оценить, как:
-$$
-E_0=\frac{(\Delta p)^2}{2m}=\frac{\hbar ^2}{8ma^2}.
-$$
-	\includegraphics[scale=0.4]{02}
-Неопределённость по координате в такой яме порядка $a$.  Тогда неопределённость в
-импульсе имеет порядок:
-$$
-\Delta p\sim \frac{\hbar}{2a}.
-$$
-Энергия частицы связана с импульсом соотношением:
-$$
-E=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2 x^2}{2}.
-$$
-Выразим энергию через неопределённость в координате:
-$$
-E=\frac{(\Delta p)^2}{2m}+\frac{m\omega^2 (\Delta x)^2}{2}=
-\frac{\hbar ^2}{8ma^2}+\frac{m\omega^2 a^2}{2}.
-$$
-Найдём минимум этого выражения по $a$. Продифференцируем это выражение по $a$:
-$$
-\frac{d}{da}
-E=-2\frac{\hbar ^2}{8ma^3}+2\frac{m\omega^2 a}{2}=0.
-$$
-Решая это уравнение, найдём точку экстремума:
-$$
-a=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}.
-$$
-Подставив это значение в энергию, получим оценку основного состояния:
-$$
-E=\frac{\hbar ^2}{8m\left(\frac{\hbar}{2m\omega} \right) }+\frac{m\omega^2 \left(\frac{\hbar}{2m\omega} \right)}{2} = \frac 12\hbar \omega .
-$$