Что такое «физический закон»? Если понимать его как философскую категорию, то это «устойчивый тип отношений». Однако, что понимать под «отношениями» и, что такое «устойчивый тип»? В зависимости от конкретизации данных понятий можно рассматривать различные «физические законы». В Теории физических структур (ТФС) дана интерпретация этих понятий и получены определенные утверждения относительно существования самих «отношений». Теория физических структур представляет собой алгебраическую теорию отношений между элементами произвольной природы, нацеленную на переосмысление законов физики. В её основе лежит феноменологическая симметрия физических законов. Эта теория была сформулирована Ю.И. Кулаковым в Новосибирске в 1966 году.

Трёхмерное евклидово пространство

Перейдем к некоторым примерам, характеризующим суть проблемы. В качестве простейшего можно рассмотреть геометрию (Часть 2, Глава 6, параграф 4 из монографии Ю.И. Кулакова Теория физических структур). Действительно, произведя экспериментальные измерения расстояний между точками, можно убедиться, лежат ли точки на одной прямой, плоскости, объеме и пр. Рассмотрим конечное множество $\mathfrak{M}=\{i_1, i_2, \ldots, i_n \},$ состоящее из $n$ произвольно расположенных в трёхмерном пространстве точек. Можно ли утверждать, что несмотря на совершенно произвольное их расположение, существует вполне определённый физический закон (то есть закон, справедливость которого может быть установлена экспериментальным путём), которому подчиняются все точки множества $\mathfrak{M}$? Чтобы обнаружить его, необходимо рассмотреть все возможные пары точек из $\mathfrak{M}$, их будет ${\frac 12}n(n-1)$, сопоставляя каждой паре экспериментально измеряемую величину, характеризующую взаимное расположение точек. В качестве такой, измеряемой на опыте, величины примем в простейшем случае расстояние, измеренное, например, с помощью обычной масштабной линейки.

Сопоставляя каждой паре точек $(i,k)$ расстояние $\ell_{ik}$, мы получим набор опытных данных, полностью характеризующих данное множество $\mathfrak{M}$, который может быть представлен в виде следующей симметрической матрицы:

$$
\left.\begin{array}{c|ccccc}
{}  &    i_1    &	  i_2   &	i_3	 & \ldots &   i_n    \\ \hline
i_1 &     0	& \ell_{12}     & \ell_{13}      & \ldots & \ell_{1n} \\
i_2 & \ell_{12} &	0	& \ell_{23}      & \ldots & \ell_{2n} \\
i_3 & \ell_{13} & \ell_{23}     &	 0	 & \ldots & \ell_{3n} \\
\ldots &\ldots  & \ldots        &    \ldots      & \ldots &  \ldots \\
i_n & \ell_{1n} & \ell_{2n}     & \ell_{3n}      & \ldots &	0 
\end{array} \right.
$$

Ясно, что взаимные расстояния $\ell_{ik}, \ell_{im},\ell_{km}$ между тремя произвольными точками $i,k,m \in \mathfrak{M}$ не могут быть связаны между собой функциональной зависимостью, так как при фиксированных расстояниях $\ell_{ik}$ и $\ell_{im}$, третье расстояние $\ell_{km}$ может принимать различные значения от $|\ell_{ik}-\ell_{im}|$ до $\ell_{ik} + \ell_{im}$:

$$
\mbox{
\unitlength=1mm
\begin{picture}(60,45)(0,-20)
\thicklines
\put(0,0){\line(6,-1){60}}
\put(0,0){\line(1,1){20}}
\put(20,20){\line(4,-3){40}}
\put(-4,0){$i$}
\put(62,-11){$k$}
\put(17,21){$m$}
\put(27,-10){$\ell_{ik}$}
\put(3.5,11){$\ell_{im}$}
\put(42,5){$\ell_{km}$}
\put(95,8){}
\thinlines
\end{picture}
}
$$


Точно так же обстоит дело, если взять четыре произвольные точки $i,k,m,n \in \mathfrak{M}$:

$$
\mbox{
\unitlength=1mm
\begin{picture}(60,45)(0,-20)
\thicklines
\put(20,20){\line(4,-3){10.3}}
\put(0,0){\line(6,-1){60}}
\put(0,0){\line(1,1){20}}
\put(0,0){\line(5,2){50}}
\put(20,20){\line(1,0){30}}
\put(50,20){\line(1,-3){10}}
\put(30.5,12){\line(4,-3){29.5}}
\put(-4,0){$i$}
\put(61,-11){$m$}
\put(17,21){$k$}
\put(49,21){$n$}
\end{picture}
}
$$


и рассмотреть зависимость между шестью взаимными расстояниями $\ell_{ik}, \ell_{im}, \ell_{in},
\ell_{km},\ell_{kn},\ell_{mn}$. При фиксированных пяти расстояниях $\ell_{ik}, \ell_{im}, \ell_{in},
\ell_{km}, \ell_{kn}$ шестое расстояние $\ell_{mn}$ может принимать различные значения из некоторого интервала.

Но если взять пять произвольных точек $i, k, m, n, p \in \mathfrak{M}$, то одно из десяти взаимных расстояний $\ell_{ik},
\ell_{im}, \ell_{in}, \ell_{ip}, \ell_{km}, \ell_{kn}, \ell_{kp}, \ell_{mn},
\ell_{mp}, \ell_{np}$ является двузначной функцией остальных девяти.

Итак, для любых пяти точек трёхмерного евклидова пространства существует функциональная связь между их взаимными расстояниями, вид которой не зависит от выбора этих точек:

$$
\left|\begin{array}{cccccc}
0 &	 1	&      1      &      1	    &	   1	  &	 1     \\
1 &	 0	& \ell^2_{ik} & \ell^2_{im} & \ell^2_{in} & \ell^2_{ip}\\
1 & \ell^2_{ik} &     0       & \ell^2_{km} & \ell^2_{kn} & \ell^2_{kp}\\
1 & \ell^2_{im} & \ell^2_{km} &      0	    & \ell^2_{mn} & \ell^2_{mp}\\
1 & \ell^2_{in} & \ell^2_{kn} & \ell^2_{mn} &	   0	  & \ell^2_{np}\\
1 & \ell^2_{ip} & \ell^2_{kp} & \ell^2_{mp} & \ell^2_{np} &	 0     \\
\end{array}\right|=0.
$$

Более подробно этот пример разобран в монографии «Теория физических структур» Ю.И. Кулакова.

Закон Ньютона

Для рассмотрения более физических примеров обратимся к идее объектов разной природы в противоположность геометрии, где все точки взяты из одного множества. В этом случае, двум точкам из двух разных множеств сопоставляется измерительная процедура, некий аналог расстояния.

Начнём с хорошо известного ещё с детства Второго закона Ньютона: $ ma=F.$ Прежде всего снабдим входящие в него физические величины латинскими и греческими индексами: $ 
m_ia_{\alpha i}=F_\alpha.
$

Индексы $ i$ и $ k$ будем использовать для обозначения двух тел, индексы $ \alpha$ и $ \beta$ - для обозначения двух акселераторов (ускорителей или пружинок) и двойной индекс $ \alpha i$ для обозначения ускорения тела $i$ под действием пружинки $ \alpha $.

Возьмём два тела $ i$ и $ k$ и два акселератора $ \alpha$ и $ \beta $ и перепишем уравнение в четырёх вариантах:
$ m_i a_{\alpha i}= F_\alpha$ $ m_k a_{\alpha k}= F_\alpha $
$ m_i a_{\beta i}= F_\beta $ $ m_k a_{\beta k}= F_\beta $
из которых, исключая две массы $ m_i$ и $ m_k$ и две силы $ F_\alpha$ и $ F_\beta $, получим одно уравнение, связывающее между собой четыре ускорения $ 
a_{\alpha i}a_{\beta k}-a_{\alpha k}a_{\beta k}=0,
$ которое перепишем в виде определителя равного нулю: $ \left|
\begin{array}{cc}
a_{\alpha i} & a_{\alpha k} \\
a_{\beta i} & a_{\beta k}
\end{array}\right|\equiv 0
$ В этом месте мы совершим логический скачёк! Вместо определителя второго порядка мы рассмотрим его обобщение в виде числовой функции четырёх переменных $ 
\Phi(\varphi_{\alpha i},\varphi_{\alpha k},
\varphi_{\beta i},\varphi_{\beta k})\equiv 0
$ выбирая в качестве её аргументов одну числовую функцию двух числовых переменных — $ \xi$ или $ \eta$ и x или y:
$\varphi_{\alpha i}=\varphi(\xi,x)\quad \varphi_{\alpha k}=\varphi(\xi,y)$
$\varphi_{\beta i}=\varphi(\eta,x)\quad \varphi_{\beta k}=\varphi(\eta,y)
$
В результате получаем неизвестное ранее функциональное уравнение относительно двух неизвестных числовых функций $ \Phi$ и $\varphi$
$\Phi\bigl(\varphi(\xi,x),\varphi(\xi,y),\varphi(\eta,x),\varphi(\eta,y)\bigr)\equiv
0$ справедливое для произвольных $ \xi,\eta,x,y\in\mathbb{R}.$

Более подробно этот пример разобран в монографии «Теория физических структур» Ю.И. Кулакова.

Закон Ома для всей цепи

Рассмотрим пример из книги Ю.И. Кулакова. Возьмем три произвольных проводника $i, k, m \in\mathfrak M$ и два произвольных источника тока $\alpha, \beta \in \mathfrak N$. Измерим шесть показаний амперметра ${\cal J}_{i\alpha}, {\cal J}_{i\beta}, {\cal
J}_{k\alpha}, {\cal J}_{k\beta}, {\cal J}_{m\alpha}, {\cal J}_{m\beta}$ по схеме:

С достаточной степенью точности имеет место соотношение:

$$
\left|\begin{array}{ccc}
{\cal J}_{i\alpha} {\cal J}_{i\beta} & {\cal J}_{i\alpha} & {\cal
J}_{i\beta}\\
{\cal J}_{k\alpha} {\cal J}_{k\beta} & {\cal J}_{k\alpha} & {\cal
J}_{k\beta}\\
{\cal J}_{m\alpha} {\cal J}_{m\beta} & {\cal J}_{m\alpha} & {\cal
J}_{m\beta}\\
\end{array}\right|=0,
$$

из которого, используя эталонные точки $k, m \in \mathfrak M, \beta \in \mathfrak N$ легко получить хорошо известный Закон Ома для всей цепи

$$
{\cal J}_{i\alpha}=\frac{{\cal E_{\alpha}}}{R_i+r_{\alpha}},
$$

${\cal E_{\alpha}}$ – электродвижущая сила источника тока,
$R_i$ – сопротивление проводника,
$r_{\alpha }$ – внутреннее сопротивление источника тока.

Более подробно этот пример разобран в монографии «Теория физических структур» Ю.И. Кулакова.

Термодинамика

Рассмотрим пример из монографии Г.Г. Михайличенко (Введение.).
Рассмотрим множество состояний некоторой термодинамической системы. Каждой паре состояний $\langle ij\rangle $ сопоставим два числа, равные двум количествам тепла $Q^{TS}_{ij}$ и $Q^{ST}_{ij}$, которые система отдает внешним телам при ее переходе из состояния $i$ в состояние $j$ сначала по изотерме $(T=const)$, а затем по адиабате $(S=const)$, в первом случае – процесс TS и сначала по адиабате, а затем по изотерме, во втором – процесс ST, где T – температура и S – энтропия системы.

Двухкомпонентная числовая функция $Q_{ij}=(Q_{ij}^{TS},Q_{ij}^{ST})$ задает на плоскости $(S,T)$ состояний термодинамической системы двуметрическую геометрию и является в этой геометрии некоторым аналогом расстояния между точками $i$ и $j$. Возьмем на плоскости $(S,T)$ три произвольные состояния $\langle ijk\rangle$, порядок следования которых определяется записью тройки. Тогда, дополнительно к расстоянию $Q_{ij}$ можно выписать еще два $Q_{ik}, Q_{jk}$ для пар состояний $\langle ik\rangle$ и $\langle jk\rangle$. Все три двухкомпонентных расстояния оказываются связанными между собой двумя тождествами

$$
\left|
\begin{array}{ccc}
0 & -Q^{ST}_{ij} & -Q^{ST}_{ik} \\
Q^{TS}_{ij} & 0 & -Q^{ST}_{jk} \\
Q^{TS}_{ik} & Q^{TS}_{jk} & 0
\end{array}
\right| =0,
\hspace{1 cm}
\left|
\begin{array}{ccc}
Q^{TS}_{ij} & Q^{TS}_{jk} & -Q^{ST}_{ik} \\
Q^{TS}_{ik} & 0 & -Q^{ST}_{ik} \\
Q^{TS}_{ik} & -Q^{ST}_{ij} & -Q^{ST}_{jk}
\end{array}
\right| =0,
$$


справедливыми для любой тройки состояний $\langle ijk\rangle$.

Примеры из монографии Ю.И. Кулакова

Примеры из монографии Ю.И. Кулакова Теория физических структур.

Дополнительные примеры

Несколько примеров физических структур предложенных Ю.И. Кулаковым:
1. Аналитическая геометрия,
2. Аналитическая термодинамика,
3. Время как физическая структура или как можно пользоваться часами с неравномерной шкалой.