mmf9

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия		 Предыдущая версия
mmf9 [2025/10/30 05:35] – создано rootmmf9 [2026/09/27 19:15] (текущий) – внешнее изменение 127.0.0.1
Строка 1: Строка 1:
-===== Решение задач по электротехнике =====+====== Семинар 9. Переменные ток и напряжение. Векторные диаграммы. Энергия электромагнитного поля ======
  
-=== 9.1. Последовательная цепь \( C_1 L C_2 K \) ===+===== 9.1. Последовательная цепь \( C_1 L C_2 K \) =====
  
 **Дано:** Конденсатор \( C_1 \) заряжен до \( Q_1 \), \( C_2 \) не заряжен. Ключ замыкается. **Дано:** Конденсатор \( C_1 \) заряжен до \( Q_1 \), \( C_2 \) не заряжен. Ключ замыкается.
  
 **Найти:** \( I_{\text{max}} \) и \( Q_{\text{max}} \) после замыкания. **Найти:** \( I_{\text{max}} \) и \( Q_{\text{max}} \) после замыкания.
 +{{ ::09-1.png?200 |}}
  
 **Решение:** **Решение:**
Строка 12: Строка 13:
  
 - Эквивалентная ёмкость:  - Эквивалентная ёмкость: 
-  $$ C_{\text{экв}} = C_1 + C_2 $$+$$ C_{\text{экв}} = C_1 + C_2 $$
  
 - Начальное напряжение:  - Начальное напряжение: 
-  $$ U_0 = \frac{Q_1}{C_1} $$+$$ U_0 = \frac{Q_1}{C_1} $$
  
 - Максимальный заряд на \( C_2 \):  - Максимальный заряд на \( C_2 \): 
-  $$ Q_{\text{max}} = C_2 \cdot U = \frac{C_2 Q_1}{C_1 + C_2} $$+$$ Q_{\text{max}} = C_2 \cdot U = \frac{C_2 Q_1}{C_1 + C_2} $$
  
 - Максимальный ток:  - Максимальный ток: 
-  $$ I_{\text{max}} = Q_1 \sqrt{\frac{1}{L} \left( \frac{1}{C_1} - \frac{1}{C_1 + C_2} \right)} $$+$$ I_{\text{max}} = Q_1 \sqrt{\frac{1}{L} \left( \frac{1}{C_1} - \frac{1}{C_1 + C_2} \right)} $$
  
 **Ответ:**  **Ответ:** 
Строка 27: Строка 28:
 $$ Q_{\text{max}} = \frac{C_2 Q_1}{C_1 + C_2} $$ $$ Q_{\text{max}} = \frac{C_2 Q_1}{C_1 + C_2} $$
  
-=== 9.2. Параллельные сверхпроводящие катушки ===+===== 9.2. Параллельные сверхпроводящие катушки =====
  
 **Дано:** Катушки \( L_1 \), \( L_2 \) подключены параллельно к батарее \( E \), \( r \). **Дано:** Катушки \( L_1 \), \( L_2 \) подключены параллельно к батарее \( E \), \( r \).
  
 **Найти:** Установившиеся токи. **Найти:** Установившиеся токи.
 +
 +{{ ::09-2.png?200 |}}
  
 **Решение:** **Решение:**
Строка 38: Строка 41:
  
 - Общий ток:  - Общий ток: 
-  $$ I = \frac{E}{r} $$+$$ I = \frac{E}{r} $$
  
 - Распределение токов:  - Распределение токов: 
-  $$ I_1 = \frac{L_2}{L_1 + L_2} \cdot \frac{E}{r} $$ +$$ I_1 = \frac{L_2}{L_1 + L_2} \cdot \frac{E}{r} $$ 
-  $$ I_2 = \frac{L_1}{L_1 + L_2} \cdot \frac{E}{r} $$+$$ I_2 = \frac{L_1}{L_1 + L_2} \cdot \frac{E}{r} $$
  
 **Ответ:** **Ответ:**
 $$ I_1 = \frac{L_2}{L_1 + L_2} \cdot \frac{E}{r}, \quad I_2 = \frac{L_1}{L_1 + L_2} \cdot \frac{E}{r} $$ $$ I_1 = \frac{L_2}{L_1 + L_2} \cdot \frac{E}{r}, \quad I_2 = \frac{L_1}{L_1 + L_2} \cdot \frac{E}{r} $$
  
-=== 9.3. RC-цепочка ===+===== 9.3. RC-цепочка =====
  
 **Дано:** \( U_{13} = U_0 \cos \omega t \), подано в момент \( t = 0 \). **Дано:** \( U_{13} = U_0 \cos \omega t \), подано в момент \( t = 0 \).
  
 **Найти:** \( U_R \), \( U_C \). **Найти:** \( U_R \), \( U_C \).
 +
 +{{ ::09-3.png?200 |}}
  
 **Решение:** **Решение:**
Строка 58: Строка 63:
  
 - Комплексное сопротивление:  - Комплексное сопротивление: 
-  $$ Z = R + \frac{1}{j\omega C} $$+$$ Z = R + \frac{1}{j\omega C} $$
  
 - Комплексный ток:  - Комплексный ток: 
-  $$ \dot{I} = \frac{U_0}{R + \frac{1}{j\omega C}} $$+$$ \dot{I} = \frac{U_0}{R + \frac{1}{j\omega C}} $$
  
 - Напряжения:  - Напряжения: 
-  $$ \dot{U}_R = \dot{I} R, \quad \dot{U}_C = \dot{I} \cdot \frac{1}{j\omega C} $$+$$ \dot{U}_R = \dot{I} R, \quad \dot{U}_C = \dot{I} \cdot \frac{1}{j\omega C} $$
  
 **Ответ:** **Ответ:**
Строка 70: Строка 75:
 $$ U_C(t) = \frac{U_0}{\omega C \sqrt{R^2 + \frac{1}{\omega^2 C^2}}} \cos(\omega t + \varphi_C) $$ $$ U_C(t) = \frac{U_0}{\omega C \sqrt{R^2 + \frac{1}{\omega^2 C^2}}} \cos(\omega t + \varphi_C) $$
  
-=== 9.4. Аналогично для RL и LC ===+===== 9.4. Аналогично для RL и LC =====
  
 **а) RL-цепочка:** **а) RL-цепочка:**
  
 - Комплексное сопротивление:  - Комплексное сопротивление: 
-  $$ Z = R + j\omega L $$+$$ Z = R + j\omega L $$
  
 - Ток:  - Ток: 
-  $$ \dot{I} = \frac{U_0}{R + j\omega L} $$+$$ \dot{I} = \frac{U_0}{R + j\omega L} $$
  
 - Напряжения:  - Напряжения: 
-  $$ \dot{U}_R = \dot{I} R, \quad \dot{U}_L = \dot{I} \cdot j\omega L $$+$$ \dot{U}_R = \dot{I} R, \quad \dot{U}_L = \dot{I} \cdot j\omega L $$
  
 **б) LC-цепочка:** **б) LC-цепочка:**
  
 - Комплексное сопротивление:  - Комплексное сопротивление: 
-  $$ Z = j\omega L + \frac{1}{j\omega C} = j\left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right) $$+$$ Z = j\omega L + \frac{1}{j\omega C} = j\left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right) $$
  
 - Ток:  - Ток: 
-  $$ \dot{I} = \frac{U_0}{j\left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)} $$+$$ \dot{I} = \frac{U_0}{j\left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)} $$
  
-- Напряжения:  +- Напряжения: 
-  $$ \dot{U}_L = \dot{I} \cdot j\omega L, \quad \dot{U}_C = \dot{I} \cdot \frac{1}{j\omega C} $$+$$ \dot{U}_L = \dot{I} \cdot j\omega L, \quad \dot{U}_C = \dot{I} \cdot \frac{1}{j\omega C} $$
  
-=== 9.5. Параллельный RCL-контур ===+**Ответ:** 
 +а) $U_R(t)=\dfrac{U_0R}{\sqrt{R^2+\omega^2L^2}}\cos(\omega t-\varphi)$, $U_L(t)=\dfrac{U_0\omega L}{\sqrt{R^2+\omega^2L^2}}\cos(\omega t-\varphi+\pi/2)$, где $\operatorname{tg}\varphi=\omega L/R$; 
 +б) в LC-цепочке ток и напряжения на $L$ и $C$ сдвинуты по фазе на $\pi/2$ относительно $U_0\cos\omega t$ (чисто реактивная цепь, активной мощности не рассеивается); при $\omega L=1/(\omega C)$ — резонанс, амплитуда тока формально расходится (в идеальной цепи без потерь). 
 + 
 +===== 9.5. Параллельный RCL-контур =====
  
 **Дано:** \( U = U_0 \cos \omega t \), параллельное соединение \( R, C, L \). **Дано:** \( U = U_0 \cos \omega t \), параллельное соединение \( R, C, L \).
  
 **Найти:** Токи и сопротивление, резонанс. **Найти:** Токи и сопротивление, резонанс.
 +
 +{{ ::09-5.png?200 |}}
  
 **Решение:** **Решение:**
  
 - Комплексные проводимости:  - Комплексные проводимости: 
-  $$ Y_R = \frac{1}{R}, \quad Y_C = j\omega C, \quad Y_L = \frac{1}{j\omega L} $$ +$$ Y_R = \frac{1}{R}, \quad Y_C = j\omega C, \quad Y_L = \frac{1}{j\omega L} $$ 
-  $$ Y = \frac{1}{R} + j\left( \omega C - \frac{1}{\omega L} \right) $$+$$ Y = \frac{1}{R} + j\left( \omega C - \frac{1}{\omega L} \right) $$
  
 - Общий ток:  - Общий ток: 
-  $$ \dot{I} = \dot{U} \cdot Y $$+$$ \dot{I} = \dot{U} \cdot Y $$
  
 - Резонанс токов при:  - Резонанс токов при: 
-  $$ \omega C = \frac{1}{\omega L} \quad \Rightarrow \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$+$$ \omega C = \frac{1}{\omega L} \quad \Rightarrow \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$
  
 **Ответ:** **Ответ:**
Строка 117: Строка 128:
 Резонанс токов наблюдается при $ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} $. Резонанс токов наблюдается при $ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} $.
  
-=== 9.6. Толщина скин-слоя для меди ===+===== 9.6. Толщина скин-слоя для меди =====
  
 **Дано:** $ \sigma = 5 \cdot 10^{17} \, \text{с}^{-1} $, $ \mu \approx 1 $, $ \nu_1 = 50 \, \text{Гц} $, $ \nu_2 = 1 \, \text{МГц} $. **Дано:** $ \sigma = 5 \cdot 10^{17} \, \text{с}^{-1} $, $ \mu \approx 1 $, $ \nu_1 = 50 \, \text{Гц} $, $ \nu_2 = 1 \, \text{МГц} $.