Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res1.31 [2020/03/11 06:44] – root
+++ optics:res1.31 [2020/03/11 19:42] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{:optics:выделение_090.jpg?direct&250 |}}1.31. Эффективным методом расчета оптических систем является
-//матричный формализм.// В этом методе точка пересечения луча с плоскостью, ортогональной оси системы, характеризуется расстоянием $x$ до оси и углом $\alpha = \frac{dx}{dz},$ между лучом и осью. Тогда точки $(x_1, \alpha_1)$ и $(x_2 , \alpha_2),$ являющиеся изображением друг друга (сопряженные точки), связаны матрицей $M_{12}$ оптического преобразования, причем $\text{Det}M_{12} = \frac{n_1}{n_2}$ --- отношению показателей преломления среды в точках
+//матричный формализм// (смотри [[res1.30-2|предыдущую задачу]]). В этом методе точка пересечения луча с плоскостью, ортогональной оси системы, характеризуется расстоянием $x$ до оси и углом $\alpha = \frac{dx}{dz},$ между лучом и осью. Тогда точки $(x_1, \alpha_1)$ и $(x_2 , \alpha_2),$ являющиеся изображением друг друга (сопряженные точки), связаны матрицей $M_{12}$ оптического преобразования, причем $\text{Det}M_{12} = \frac{n_1}{n_2}$ --- отношению показателей преломления среды в точках
 , 2. Так, матрица пустого промежутка длиной $d$ есть
 $$\left(\begin{array}{cc}
@@ Строка 17: / Строка 17: @@
 -----
-Запишем преобразование толстой линзы:
+Запишем преобразование толстой линзы, с учётом знака для $R_2$ из рисунка:
 $$\left(\begin{array}{cc}
@@ Строка 41: / Строка 41: @@
 Перемножим матрицы:
-$\left(\begin{array}{cc}
+$$M=\left(\begin{array}{cc}
 & \ell\\
 & 1
@@ Строка 53: / Строка 53: @@
 & 0\\
 \frac{1-n}{nR_{1}} & \frac{1}{n}
-\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
+\end{array}\right)=
+$$
+$$
+\left(\begin{array}{cc}
 -\frac{n-1}{R_{2}}\ell & \ell n\\
 -\frac{n-1}{R_{2}} & n
@@ Строка 59: / Строка 62: @@
 +\frac{1-n}{nR_{1}}d & \frac{d}{n}\\
 \frac{1-n}{nR_{1}} & \frac{1}{n}
-\end{array}\right)=$
+\end{array}\right)=$$
-$\left(\begin{array}{cc}
+$$\left(\begin{array}{c|c}
-\left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{1-n}{R_{1}} & \left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\frac{d}{n}+\ell\\
+\left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{1-n}{R_{1}} & \left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\frac{d}{n}+\ell\\ \hline
 -\frac{n-1}{R_{2}}\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\frac{1-n}{R_{1}} & -\frac{n-1}{R_{2}}\frac{d}{n}+1
-\end{array}\right)$
+\end{array}\right).$$
 Найдём такой $\ell$ для которого $x'=0$ при $\alpha=0:$
-$\left(\left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{1-n}{R_{1}}\right)x=0$
+$$\left(\left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{1-n}{R_{1}}\right)x=0,$$
 тогда
-$\left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{1-n}{R_{1}}=0$
+$$\left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{1-n}{R_{1}}=0,$$
+расписывая выражение
-$\frac{n-1}{R_{2}}\ell\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{n-1}{R_{1}}=1+\frac{1-n}{nR_{1}}d$
+$$\frac{n-1}{R_{2}}\ell\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{n-1}{R_{1}}=1+\frac{1-n}{nR_{1}}d,$$
+собирая коэффициенты при $\ell$
-$\ell\left(\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{1}}-\frac{n-1}{nR_{1}R_{2}}d\right)=\frac{1}{n-1}-\frac{d}{nR_{1}}$
+$$\ell\left(\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{1}}-\frac{n-1}{nR_{1}R_{2}}d\right)=\frac{1}{n-1}-\frac{d}{nR_{1}}$$
+и окончательно выражая:
-$\ell=R_{2}\frac{nR_{1}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{1}+nR_{2}-(n-1)d\right)}$
+$$\ell=R_{2}\frac{nR_{1}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{1}+nR_{2}-(n-1)d\right)}.$$
 Найдём $f_{2}$. Для этого сначала найдём угол после выхода луча из
-толстой линзы \textemdash{} $\alpha'=m_{21}\cdot x$. При этом, что
+толстой линзы --- $\alpha'=m_{21}\cdot x$. При этом, что
 бы произошло пересечение с главной оптической осью угол $\alpha'<0.$
-Из геометрии распространения луча: $x=-f_{2}\cdot\text{tg}\alpha'\approx-f_{2}\cdot\alpha'$,
+Из геометрии распространения луча:
-следовательно $-f_{2}^{-1}=m_{21}=-\frac{n-1}{R_{2}}\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\frac{1-n}{R_{1}}=-\left(n-1\right)\left(R_{1}^{-1}+R_{2}^{-1}-\frac{d\left(n-1\right)}{nR_{1}R_{2}}\right)$.
+$$x=-f_{2}\cdot\text{tg}\alpha'\approx-f_{2}\cdot\alpha',$$
+следовательно
+$$-f_{2}^{-1}=m_{21}=-\frac{n-1}{R_{2}}\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\frac{1-n}{R_{1}}=
+$$
+$$-\left(n-1\right)\left(R_{1}^{-1}+R_{2}^{-1}-\frac{d\left(n-1\right)}{nR_{1}R_{2}}\right).$$
 Так как в $f_{2}$ радиусы обеих поверхностей входят симметрично,
 то запуская луч в обратную сторону придём к тому же результату так,
 что $f_{1}=f_{2}$.
-Вычислим $h_{i}=f_{i}-\ell_{i},$ где $\ell_{2}=\ell=R_{2}\frac{nR_{1}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{1}+nR_{2}-(n-1)d\right)}$,
+Вычислим $h_{i}=f_{i}-\ell_{i},$ где
-а $\ell_{1}=R_{1}\frac{nR_{2}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}$
+$$\ell_{2}=\ell=R_{2}\frac{nR_{1}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{1}+nR_{2}-(n-1)d\right)},$$
+а
+$$\ell_{1}=R_{1}\frac{nR_{2}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}.$$
-итак
+Итак
-$h_{1}=f_{1}-\ell_{1}=\frac{nR_{1}R_{2}}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}-R_{1}\frac{nR_{2}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}=\frac{R_{1}d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}=\frac{(n-1)fd}{nR_{2}}$
+$$h_{1}=f_{1}-\ell_{1}=\frac{nR_{1}R_{2}}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}-
+$$
+$$
+R_{1}\frac{nR_{2}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}=$$
+$$\frac{R_{1}d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)},$$
 если выразить через фокусное расстояние, то
-$h_{1}=\frac{(n-1)fd}{nR_{2}}$
+$$h_{1}=\frac{(n-1)fd}{nR_{2}},$$
 соответственно:
-$h_{2}=\frac{(n-1)fd}{nR_{1}}$
+$$h_{2}=\frac{(n-1)fd}{nR_{1}}.$$