optics:res1.31

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
optics:res1.31 [2020/03/11 06:46] – rootoptics:res1.31 [2020/03/11 19:42] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
 {{:optics:выделение_090.jpg?direct&250 |}}1.31. Эффективным методом расчета оптических систем является {{:optics:выделение_090.jpg?direct&250 |}}1.31. Эффективным методом расчета оптических систем является
-//матричный формализм.// В этом методе точка пересечения луча с плоскостью, ортогональной оси системы, характеризуется расстоянием $x$ до оси и углом $\alpha = \frac{dx}{dz},$ между лучом и осью. Тогда точки $(x_1, \alpha_1)$ и $(x_2 , \alpha_2),$ являющиеся изображением друг друга (сопряженные точки), связаны матрицей $M_{12}$ оптического преобразования, причем $\text{Det}M_{12} = \frac{n_1}{n_2}$ --- отношению показателей преломления среды в точках+//матричный формализм// (смотри [[res1.30-2|предыдущую задачу]]). В этом методе точка пересечения луча с плоскостью, ортогональной оси системы, характеризуется расстоянием $x$ до оси и углом $\alpha = \frac{dx}{dz},$ между лучом и осью. Тогда точки $(x_1, \alpha_1)$ и $(x_2 , \alpha_2),$ являющиеся изображением друг друга (сопряженные точки), связаны матрицей $M_{12}$ оптического преобразования, причем $\text{Det}M_{12} = \frac{n_1}{n_2}$ --- отношению показателей преломления среды в точках
 1, 2. Так, матрица пустого промежутка длиной $d$ есть  1, 2. Так, матрица пустого промежутка длиной $d$ есть 
 $$\left(\begin{array}{cc} $$\left(\begin{array}{cc}
Строка 17: Строка 17:
 ----- -----
  
-Запишем преобразование толстой линзы:+Запишем преобразование толстой линзы, с учётом знака для $R_2$ из рисунка:
  
 $$\left(\begin{array}{cc} $$\left(\begin{array}{cc}
Строка 41: Строка 41:
 Перемножим матрицы: Перемножим матрицы:
  
-$$\left(\begin{array}{cc}+$$M=\left(\begin{array}{cc}
 1 & \ell\\ 1 & \ell\\
 0 & 1 0 & 1
Строка 53: Строка 53:
 1 & 0\\ 1 & 0\\
 \frac{1-n}{nR_{1}} & \frac{1}{n} \frac{1-n}{nR_{1}} & \frac{1}{n}
-\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}+\end{array}\right)= 
 +$$ 
 +$$ 
 +\left(\begin{array}{cc}
 1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell & \ell n\\ 1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell & \ell n\\
 -\frac{n-1}{R_{2}} & n -\frac{n-1}{R_{2}} & n
Строка 61: Строка 64:
 \end{array}\right)=$$ \end{array}\right)=$$
  
-$$\left(\begin{array}{cc} +$$\left(\begin{array}{c|c} 
-\left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{1-n}{R_{1}} & \left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\frac{d}{n}+\ell\\+\left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{1-n}{R_{1}} & \left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\frac{d}{n}+\ell\\ \hline
 -\frac{n-1}{R_{2}}\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\frac{1-n}{R_{1}} & -\frac{n-1}{R_{2}}\frac{d}{n}+1 -\frac{n-1}{R_{2}}\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\frac{1-n}{R_{1}} & -\frac{n-1}{R_{2}}\frac{d}{n}+1
 \end{array}\right).$$ \end{array}\right).$$
Строка 72: Строка 75:
 тогда тогда
  
-$$\left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{1-n}{R_{1}}=0$$ +$$\left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{1-n}{R_{1}}=0,$$ 
- +расписывая выражение 
-$$\frac{n-1}{R_{2}}\ell\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{n-1}{R_{1}}=1+\frac{1-n}{nR_{1}}d$$ +$$\frac{n-1}{R_{2}}\ell\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{n-1}{R_{1}}=1+\frac{1-n}{nR_{1}}d,$$ 
 +собирая коэффициенты при $\ell$
 $$\ell\left(\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{1}}-\frac{n-1}{nR_{1}R_{2}}d\right)=\frac{1}{n-1}-\frac{d}{nR_{1}}$$ $$\ell\left(\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{1}}-\frac{n-1}{nR_{1}R_{2}}d\right)=\frac{1}{n-1}-\frac{d}{nR_{1}}$$
- +и окончательно выражая: 
-$$\ell=R_{2}\frac{nR_{1}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{1}+nR_{2}-(n-1)d\right)}$$+$$\ell=R_{2}\frac{nR_{1}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{1}+nR_{2}-(n-1)d\right)}.$$
  
 Найдём $f_{2}$. Для этого сначала найдём угол после выхода луча из Найдём $f_{2}$. Для этого сначала найдём угол после выхода луча из
Строка 86: Строка 89:
 $$x=-f_{2}\cdot\text{tg}\alpha'\approx-f_{2}\cdot\alpha',$$ $$x=-f_{2}\cdot\text{tg}\alpha'\approx-f_{2}\cdot\alpha',$$
 следовательно  следовательно 
-$$-f_{2}^{-1}=m_{21}=-\frac{n-1}{R_{2}}\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\frac{1-n}{R_{1}}=-\left(n-1\right)\left(R_{1}^{-1}+R_{2}^{-1}-\frac{d\left(n-1\right)}{nR_{1}R_{2}}\right).$$+$$-f_{2}^{-1}=m_{21}=-\frac{n-1}{R_{2}}\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\frac{1-n}{R_{1}}= 
 +$$ 
 +$$-\left(n-1\right)\left(R_{1}^{-1}+R_{2}^{-1}-\frac{d\left(n-1\right)}{nR_{1}R_{2}}\right).$$
  
 Так как в $f_{2}$ радиусы обеих поверхностей входят симметрично, Так как в $f_{2}$ радиусы обеих поверхностей входят симметрично,
Строка 92: Строка 97:
 что $f_{1}=f_{2}$.  что $f_{1}=f_{2}$. 
  
-Вычислим $$h_{i}=f_{i}-\ell_{i},$ где $\ell_{2}=\ell=R_{2}\frac{nR_{1}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{1}+nR_{2}-(n-1)d\right)},$$+Вычислим $h_{i}=f_{i}-\ell_{i},$ где  
 +$$\ell_{2}=\ell=R_{2}\frac{nR_{1}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{1}+nR_{2}-(n-1)d\right)},$$
 а  а 
 $$\ell_{1}=R_{1}\frac{nR_{2}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}.$$ $$\ell_{1}=R_{1}\frac{nR_{2}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}.$$
Строка 98: Строка 104:
 Итак Итак
  
-$$h_{1}=f_{1}-\ell_{1}=\frac{nR_{1}R_{2}}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}-R_{1}\frac{nR_{2}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}=\frac{R_{1}d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}=\frac{(n-1)fd}{nR_{2}},$$ +$$h_{1}=f_{1}-\ell_{1}=\frac{nR_{1}R_{2}}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}- 
 +$$ 
 +$$ 
 +R_{1}\frac{nR_{2}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}=$$ 
 +$$\frac{R_{1}d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)},$$ 
  
 если выразить через фокусное расстояние, то если выразить через фокусное расстояние, то