Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ====== Семинары по электромагнетизму 3 семестр. Семинар 1. Электрическое поле в вакууме ====== ===== Задача 1 ===== ==== Условие ==== Два одинаковых шарика радиуса $r=1$ см и массы $m=9{,}81$ г подвешены в одной точке на шелковинках длины $\ell=19$ см. Шарикам сообщены одинаковые по величине и знаку заряды. Как велик заряд $q$ каждого шарика, если они разошлись так, что шелковинки образуют угол $2\alpha=90^\circ$? ==== Решение ==== Расстояние между центрами шариков — диагональ квадрата со стороной $r+\ell$ (эффективная длина подвеса до центра шарика равна $r+\ell$, а угол каждой нити с вертикалью $\alpha=45^\circ$): $$D=\sqrt2\,(r+\ell).$$ Силы, действующие на шарик: натяжение нити $T$, тяжесть $mg$, кулоновское отталкивание $F$. Равновесие даёт $F=T\sin\alpha$, $mg=T\cos\alpha$, откуда $F=mg\tan\alpha=mg$ (так как $\alpha=45^\circ$). С другой стороны, $F=\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0D^2}=\dfrac{q^2}{8\pi\varepsilon_0(r+\ell)^2}$. Приравнивая: $$mg=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0(r+\ell)^2}\ \Longrightarrow\ q=(r+\ell)\sqrt{8\pi\varepsilon_0\,mg}.$$ ==== Ответ ==== $q=(r+\ell)\sqrt{8\pi\varepsilon_0 mg}\approx0{,}93$ мкКл (при $r+\ell=0{,}20$ м, $mg\approx0{,}0961$ Н). ===== Задача 2 ===== ==== Условие ==== Две одинаковые заряженные однородно палочки образуют две стороны равностороннего треугольника. Напряжённость поля в центре треугольника $E_0$, потенциал $\varphi_0$. Чему будут равны эти величины, если убрать одну из палочек? ==== Решение ==== Из геометрической симметрии (каждая палочка создаёт в центре треугольника поле/потенциал независимо от присутствия другой) эти величины не изменятся. ==== Ответ ==== $E_0$ и $\varphi_0$ не изменятся. ===== Задача 3 ===== ==== Условие ==== Три одинаковых одноимённых заряда $q$ расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной $a$. Какой заряд $Q$ противоположного знака нужно поместить в центре этого треугольника, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю? ==== Решение ==== Расстояние от центра треугольника до вершины равно $a/\sqrt3$. Сумма сил от двух других зарядов $q$, действующих на третий, направлена к центру и по модулю равна $2\cdot\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0a^2}\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3\,q^2}{4\pi\varepsilon_0a^2}$. Сила притяжения к заряду $Q$ в центре: $\dfrac{qQ}{4\pi\varepsilon_0(a/\sqrt3)^2}=\dfrac{3qQ}{4\pi\varepsilon_0a^2}$. Приравнивая: $$\sqrt3\,q=3Q\ \Longrightarrow\ Q=\frac{q}{\sqrt3}.$$ ==== Ответ ==== $Q=q/\sqrt3$ (знак противоположен знаку $q$). ===== Задача 4 ===== ==== Условие ==== {{ ::41.png?60|}} На рисунке $AA$ — заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью заряда $\sigma=40$ мкКл/м$^2$, $B$ — одноимённо заряженный шарик массой $m=0{,}4$ мг и зарядом $q=1$ нКл. Какой угол $\alpha$ с плоскостью $AA$ образует нить, на которой подвешен шарик? ==== Решение ==== Поле бесконечной плоскости $E=\sigma/(2\varepsilon_0)$, сила на шарик $F=qE=\sigma q/(2\varepsilon_0)$, направлена от плоскости. Равновесие: $F=mg\tan\alpha$ (угол $\alpha$ нити с плоскостью — здесь это угол с горизонталью, перпендикулярной полю), откуда $$\alpha=\operatorname{arctg}\left(\frac{\sigma q}{2\varepsilon_0 mg}\right).$$ ==== Ответ ==== $\alpha=\operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{\sigma q}{2\varepsilon_0 mg}\right)$; при малых углах $\alpha\approx\dfrac{\sigma q}{2\varepsilon_0 mg}$. ===== Задача 5 ===== ==== Условие ==== Полубесконечная нить заряжена с линейной плотностью $\lambda$. Найти поле $E$ на расстоянии $a$ от торца нити (на продолжении нити). ==== Решение ==== Элемент нити $dx$ на расстоянии $x$ от ближнего конца создаёт в точке наблюдения поле $dE=\dfrac{\lambda\,dx}{4\pi\varepsilon_0(x+a)^2}$. Интегрируя от $0$ до $\infty$: $$E=\lambda\int_0^\infty\frac{dx}{4\pi\varepsilon_0(x+a)^2}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0a}.$$ ==== Ответ ==== $E=\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0a}$. ===== Задача 6 ===== ==== Условие ==== Найти напряжённость электрического поля, создаваемого заряженным тонким кольцом радиуса $R$ с зарядом $q$, в точке на оси кольца на расстоянии $a$ от его плоскости. ==== Решение ==== Элемент кольца с зарядом $dq$ создаёт на оси поле, продольная (осевая) составляющая которого $dE=\dfrac{dq}{4\pi\varepsilon_0(R^2+a^2)}\cdot\dfrac{a}{\sqrt{R^2+a^2}}=\dfrac{a\,dq}{4\pi\varepsilon_0(R^2+a^2)^{3/2}}$; поперечные составляющие взаимно уничтожаются по симметрии. Интегрируя $dq$ по всему кольцу ($\int dq=q$): $$E=\frac{aq}{4\pi\varepsilon_0(R^2+a^2)^{3/2}}.$$ ==== Ответ ==== $E=\dfrac{aq}{4\pi\varepsilon_0(R^2+a^2)^{3/2}}$, направлено вдоль оси. ===== Задача 7 ===== ==== Условие ==== Найти электрическое поле: а) создаваемое бесконечной плоскостью, равномерно заряженной с поверхностной плотностью $\sigma$; б) бесконечной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью $\lambda$; в) внутри и снаружи равномерно заряженного объёмной плотностью $\rho$ шара радиуса $a$. ==== Решение ==== **а)** По теореме Гаусса с цилиндром, симметрично охватывающим участок плоскости: поток $2ES=\sigma S/\varepsilon_0$, откуда $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (не зависит от расстояния). **б)** По теореме Гаусса с коаксиальным цилиндром радиуса $r$, длины $L$: $2\pi rLE=\lambda L/\varepsilon_0$, откуда $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$. **в)** Вне шара ($r\ge a$) поле такое же, как от точечного заряда $q=\frac43\pi a^3\rho$ в центре: $E=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$. Внутри шара ($r\le a$) сферой Гаусса радиуса $r$ охватывается заряд $q'=q(r/a)^3$, откуда $$E=\frac{q'}{4\pi\varepsilon_0r^2}=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}.$$ ==== Ответ ==== а) $E=\sigma/(2\varepsilon_0)$; б) $E=\lambda/(2\pi\varepsilon_0 r)$; в) $E=\rho r/(3\varepsilon_0)$ при $r\le a$, $E=\rho a^3/(3\varepsilon_0 r^2)$ при $r\ge a$. ===== Задача 8 ===== ==== Условие ==== Конденсатор, состоящий из двух прямоугольных пластин площадью $S$, заряжен зарядом $q$. Найти силу притяжения между пластинами. ==== Решение ==== Поверхностная плотность заряда $\sigma=q/S$. Поле, создаваемое ОДНОЙ пластиной (на которую действует поле другой), равно $E=\sigma/(2\varepsilon_0)=q/(2\varepsilon_0S)$. Сила притяжения на вторую пластину: $$F=qE=\frac{q^2}{2\varepsilon_0S}.$$ ==== Ответ ==== $F=\dfrac{q^2}{2\varepsilon_0S}$.