Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. Найти матрицы перехода сферической границы двух сред в параксиальном приближении и пустого пространства. ----- Пусть световой луч падает на сферическую границу раздела сред: из среды с показателем преломления $n_{1}$ в среду с показателем $n_{2}.$ Если угол распространения луча к оси составляет $\theta_{1},$ то угол падения к нормали поверхности будет --- $\theta_{1}+\theta$, где $\text{tg}\ \theta=\frac{x}{R}$, $x$ --- высота луча от оси, а $R$ --- радиус кривизны. После преломления угол к нормали $\beta$ найдём из закона Снеллиуса: $$n_{2}\sin\beta=n_{1}\sin\left(\theta_{1}+\theta\right).$$ Угол к оси будет $\theta_{2}=\beta-\theta$ и при малых углах $\theta_{1},\theta\ll\pi$ можно записать: $$ \theta_{2}=\beta-\theta\approx\frac{n_{1}}{n_{2}}\cdot\left(\theta_{1}+\theta\right)-\theta=\frac{n_{1}}{n_{2}}\theta_{1}+\left(\frac{n_{1}}{n_{2}}-1\right)\theta\approx $$ $$ \frac{n_{1}}{n_{2}}\theta_{1}+\left(\frac{n_{1}}{n_{2}}-1\right)\frac{x}{R}. $$ Тогда преобразование вектор--столбца $$\left(\begin{array}{c} x\\ \theta_{1} \end{array}\right), $$ где $x$ --- высота вхождения луча, $\theta_{1}$ --- угол, при прохождении такой границы описывается матрицей преобразования $$M=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \frac{n_{1}-n_{2}}{n_{2}R} & \frac{n_{1}}{n_{2}} \end{array}\right) $$ так, что $$\left(\begin{array}{c} x'\\ \theta_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \frac{n_{1}-n_{2}}{n_{2}R} & \frac{n_{1}}{n_{2}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ \theta_{1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x\\ \frac{n_{1}-n_{2}}{n_{2}R}x+\frac{n_{1}}{n_{2}}\theta_{1} \end{array}\right).$$ Пустой промежуток длины $d$ описывается матрицей $$M=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ 0 & 1 \end{array}\right)$$ так как угол не меняется, а смещение по $x$ зависит от промежутка так, что: $$x'=x+d\text{tg}\ \alpha\approx x+d\alpha$$ и в виде преобразования вектор--столбца: $$\left(\begin{array}{c} x'\\ \alpha' \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ \alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x+d\alpha\\ \alpha \end{array}\right). $$