====== Семинары по электромагнетизму 3 семестр. Семинар 2. Потенциал электрического поля ====== ===== Задача 1. Диполь ===== ==== Условие ==== {{ ::ggf3-21.png?200|}} Электрический диполь состоит из двух зарядов, равных по величине и противоположных по знаку, расстояние между которыми $2a$; диполь расположен вдоль оси $x$, начало координат — в центре диполя. Найти: а) потенциал в точке $P$ (на серединном перпендикуляре); б) потенциал в точке $R$ (на оси $x$, координата $x$); в) напряжённость поля на оси $x$ при $x\gg a$. ==== Решение ==== **а)** Точка $P$ равноудалена от обоих зарядов, поэтому $\varphi_P=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{a^2+y^2}}-\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{a^2+y^2}}=0$. **б)** $\varphi_R=\dfrac{-q}{4\pi\varepsilon_0(x-a)}+\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0(x+a)}=-\dfrac{qa}{2\pi\varepsilon_0(x^2-a^2)}$. **в)** При $x\gg a$: $\varphi_R\approx-\dfrac{qa}{2\pi\varepsilon_0x^2}$, откуда $$E_x=-\frac{d\varphi_R}{dx}=-\frac{qa}{\pi\varepsilon_0x^3}.$$ ==== Ответ ==== а) $\varphi_P=0$; б) $\varphi_R=-\dfrac{qa}{2\pi\varepsilon_0(x^2-a^2)}$; в) $E_x=-\dfrac{qa}{\pi\varepsilon_0x^3}$ (диполь: $p=2qa$, так что $E_x=-p/(2\pi\varepsilon_0x^3)$). ===== Задача 2. Кольцо ===== ==== Условие ==== а) Найти потенциал точки $P$, расположенной на оси тонкого однородно заряженного кольца радиусом $a$; полный заряд кольца $Q$. б) Найти напряжённость поля в той же точке $P$. ==== Решение ==== **а)** $\varphi=\displaystyle\int\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{x^2+a^2}}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{x^2+a^2}}$ (так как $r=\sqrt{x^2+a^2}$ одинаково для всех элементов кольца). **б)** По симметрии поле на оси имеет только компоненту $E_x$: $$E_x=-\frac{d\varphi}{dx}=\frac{Qx}{4\pi\varepsilon_0(x^2+a^2)^{3/2}}.$$ ==== Ответ ==== $\varphi=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{x^2+a^2}}$, $E_x=\dfrac{Qx}{4\pi\varepsilon_0(x^2+a^2)^{3/2}}$. ===== Задача 3. Диск ===== ==== Условие ==== {{ ::ggf3-23.png?200|}} Найти электрический потенциал на оси диска с поверхностной плотностью заряда $\sigma$ и радиусом $R$. ==== Решение ==== Разбиваем диск на кольца радиуса $r$, толщины $dr$: $dq=2\pi\sigma r\,dr$. По задаче 2, потенциал такого кольца в точке на оси на расстоянии $x$: $d\varphi=\dfrac{\sigma r\,dr}{2\varepsilon_0\sqrt{x^2+r^2}}$. Интегрируя по $r$ от $0$ до $R$: $$\varphi=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\int_0^R\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2+x^2}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl[\sqrt{R^2+x^2}-x\Bigr].$$ Напряжённость: $E_x=-d\varphi/dx=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl[1-\dfrac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}\Bigr]$. ==== Ответ ==== $\varphi=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\bigl(\sqrt{R^2+x^2}-x\bigr)$, $E_x=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1-\dfrac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}\Bigr)$. ===== Задача 4. Заряженный шар ===== ==== Условие ==== Вычислить потенциал поля шара радиуса $a$, равномерно заряженного по объёму (полный заряд $q$). ==== Решение ==== Вне шара ($r\ge a$) поле точечно-подобно: $E=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$, и, полагая $\varphi(\infty)=0$: $$\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}\quad(r\ge a).$$ Внутри шара ($r\le a$) поле $E=\dfrac{qr}{4\pi\varepsilon_0a^3}$. Разность потенциалов между поверхностью и точкой $r$: $\Delta\varphi=\displaystyle\int_r^aE\,dr=\dfrac{q}{8\pi\varepsilon_0a^3}(a^2-r^2)$. Прибавляя потенциал поверхности $\varphi(a)=q/(4\pi\varepsilon_0a)$: $$\varphi=\frac{q}{8\pi\varepsilon_0a^3}\bigl(3a^2-r^2\bigr)\quad(r\le a).$$ ==== Ответ ==== $\varphi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r}$ при $r\ge a$; $\varphi=\dfrac{q}{8\pi\varepsilon_0a^3}(3a^2-r^2)$ при $r\le a$. ===== Задача 5. Заряженная сфера ===== ==== Условие ==== Вычислить потенциал поля сферы радиуса $a$, равномерно заряженной по поверхности (заряд $q$). ==== Решение ==== Вне сферы поле совпадает с полем точечного заряда в центре, внутри — равно нулю (весь заряд снаружи любой внутренней гауссовой сферы), значит потенциал внутри постоянен и равен потенциалу на поверхности. ==== Ответ ==== $\varphi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r}$ при $r\ge a$; $\varphi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0a}=\text{const}$ при $r\le a$. ===== Задача 6. Заряженная пластина ===== ==== Условие ==== Вычислить потенциал поля равномерно заряженной (по объёму, плотность $\rho$) бесконечной плоскопараллельной пластинки толщины $2a$. ==== Решение ==== Заряд на единицу площади с одной стороны от центра — $\rho a$. Вне пластинки ($|x|>a$) поле однородно по модулю: $E=\rho a/\varepsilon_0$ (знак зависит от стороны), внутри ($|x|