====== Проводники в электростатическом поле. Метод зеркального отображения. Граничные условия. Электрическая ёмкость ======

===== 2.1. Заряд в двугранном прямом угле =====

**Условие:**
Металлические полуплоскости образуют двугранный прямой угол. Заряд $Q$ расположен в точке $(a,b)$ от вершины угла (на расстоянии $a$ от одной грани и $b$ от другой). Найти распределение индуцированных на плоскостях зарядов $\sigma(x,z)$ и $\sigma(y,z)$.

**Решение:**
Пусть грани угла — полуплоскости $x=0\ (y\ge0)$ и $y=0\ (x\ge0)$, заряд $Q$ находится в точке $(a,b,0)$, $a,b>0$. Для прямого угла метод изображений замыкается тремя фиктивными зарядами (для произвольного угла $\pi/n$ метод замыкается только при целом $n$; здесь $n=2$):
$$-Q\text{ в }(-a,b,0),\qquad -Q\text{ в }(a,-b,0),\qquad +Q\text{ в }(-a,-b,0).$$
Потенциал в физической области $x,y\ge0$:
$$\varphi=\frac{Q}{r_1}-\frac{Q}{r_2}-\frac{Q}{r_3}+\frac{Q}{r_4},$$
$$r_1^2=(x-a)^2+(y-b)^2+z^2,\ \ r_2^2=(x+a)^2+(y-b)^2+z^2,\ \ r_3^2=(x-a)^2+(y+b)^2+z^2,\ \ r_4^2=(x+a)^2+(y+b)^2+z^2.$$
На каждой грани тангенциальные составляющие всех четырёх зарядов взаимно уничтожаются (проверяется прямой подстановкой $x=0$ или $y=0$), поле чисто нормальное, и $\sigma=E_n/4\pi$, где $n$ — нормаль, направленная от проводника в область поля.

**На грани $x=0$ ($y\ge0$):** здесь $r_1=r_2\equiv r_a=\sqrt{a^2+(y-b)^2+z^2}$, $r_3=r_4\equiv r_b=\sqrt{a^2+(y+b)^2+z^2}$. Вычисляя $E_x=-\partial\varphi/\partial x$ при $x=0$ (вклады $Q/r_1$ и $-Q/r_2$ складываются, а $-Q/r_3$ и $Q/r_4$ — тоже), получаем
$$\sigma(y,z)=\frac{Qa}{2\pi}\left[\frac{1}{r_b^3}-\frac1{r_a^3}\right]=\frac{Qa}{2\pi}\left[\frac1{\bigl(a^2+(y+b)^2+z^2\bigr)^{3/2}}-\frac1{\bigl(a^2+(y-b)^2+z^2\bigr)^{3/2}}\right].$$

**На грани $y=0$ ($x\ge0$):** по симметрии ($a\leftrightarrow b$, $x\leftrightarrow y$):
$$\sigma(x,z)=\frac{Qb}{2\pi}\left[\frac1{\bigl(b^2+(x+a)^2+z^2\bigr)^{3/2}}-\frac1{\bigl(b^2+(x-a)^2+z^2\bigr)^{3/2}}\right].$$
Оба распределения отрицательны вблизи проекции заряда на соответствующую грань (ближайшая точка притягивает наведённый заряд того же знака, что и знак «$-$») и обращаются в нуль на бесконечности и у самой вершины угла (при $y=b,z=0$ для первой формулы второе слагаемое максимально по модулю и превышает первое, так как $r_a<r_b$).

**Ответ:**
$$\sigma(y,z)=\frac{Qa}{2\pi}\left[\frac1{(a^2+(y+b)^2+z^2)^{3/2}}-\frac1{(a^2+(y-b)^2+z^2)^{3/2}}\right],\qquad \sigma(x,z)=\frac{Qb}{2\pi}\left[\frac1{(b^2+(x+a)^2+z^2)^{3/2}}-\frac1{(b^2+(x-a)^2+z^2)^{3/2}}\right].$$

===== 2.2. Заряд между двумя проводящими плоскостями =====

**Условие:**
Заряд $Q$ помещён между двумя параллельными проводящими (заземлёнными) плоскостями так, что от ближайшей плоскости он находится на расстоянии $a$. Плоскости расположены на расстоянии $3a$ друг от друга. Определить силу взаимодействия заряда с плоскостями.

**Решение:**
Пусть плоскости — $x=0$ и $x=L$, заряд $Q$ — в точке $x_0=a$ ($0<a<L$). Метод изображений для двух параллельных плоскостей даёт бесконечную последовательность зарядов-изображений (каждое отражение от одной плоскости порождает новое изображение, которое затем нужно отразить от другой, и т.д.):
$$\text{заряд } +Q\text{ в }x=2nL+a\ (n\ne0),\qquad \text{заряд } -Q\text{ в }x=2nL-a\ (n\in\mathbb Z).$$
Сила на реальный заряд — сумма кулоновских вкладов всех изображений. Вклад от «$+Q$»-серии в силу вдоль $x$ пропорционален $\sum_{n\ne0}\operatorname{sign}(n)/n^2$ и обращается в нуль по антисимметрии $n\leftrightarrow-n$. Остаётся только «$-Q$»-серия:
$$F_x=-\frac{Q^2}4\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{sign}(a-nL)}{(a-nL)^2}=-\frac{Q^2}{4L^2}\left[\sum_{m=0}^{\infty}\frac1{(u+m)^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(n-u)^2}\right],\qquad u=\frac aL.$$
Обе суммы — значения тригамма-функции: $\sum_{m=0}^\infty 1/(u+m)^2=\psi'(u)$, $\sum_{n=1}^\infty1/(n-u)^2=\psi'(1-u)$. Итого в компактной форме
$$F_x=-\frac{Q^2}{4L^2}\Bigl[\psi'(u)-\psi'(1-u)\Bigr],\qquad u=\frac aL.$$
Проверка предельного случая: при удалении второй плоскости ($L\to\infty$, $u\to0$) остаётся только член $n=0$ первой суммы, $\psi'(u)\to1/u^2\to L^2/a^2$, и $F_x\to-Q^2/(4a^2)$ — стандартная сила притяжения к одиночной плоскости.

**Численно** для условия задачи $a=L/3$, т.е. $u=1/3$: ряд быстро сходится,
$$\sum_{m=0}^\infty\frac1{(1/3+m)^2}=9+\frac9{16}+\frac9{49}+\frac9{100}+\dots\approx9{,}97,\qquad \sum_{n=1}^\infty\frac1{(n-1/3)^2}=\frac9{4}+\frac9{25}+\frac9{64}+\dots\approx2{,}77,$$
$$F_x\approx-\frac{Q^2}{4L^2}(9{,}97-2{,}77)=-\frac{Q^2}{4(3a)^2}\cdot7{,}2\approx-0{,}20\,\frac{Q^2}{a^2}$$
(знак «$-$» означает притяжение к ближней плоскости $x=0$, как и должно быть, поскольку заряд ближе к ней).

**Ответ:**
$$F=\frac{Q^2}{4L^2}\Bigl[\psi'(1-a/L)-\psi'(a/L)\Bigr],\quad L=3a\ \Longrightarrow\ F\approx0{,}20\,\frac{Q^2}{a^2}$$
— притяжение к ближней плоскости ($\psi'$ — тригамма-функция, $\psi'(x)=\sum_{k=0}^\infty1/(x+k)^2$).

===== 2.3. Заряд вблизи заземлённой сферы =====

**Условие:**
Заряд $Q$ расположен на расстоянии $\ell$ от центра заземлённой сферы радиуса $R$ ($\ell>R$). Определить поверхностную плотность заряда на сфере.

**Решение:**
Классический образ для сферы: заряд-изображение $q'=-QR/\ell$ помещается на том же луче на расстоянии $R^2/\ell$ от центра. Потенциал вне сферы (в сферических координатах с полярной осью на $Q$, $\theta$ — угол от направления на $Q$):
$$\varphi(r,\theta)=\frac{Q}{\sqrt{r^2+\ell^2-2r\ell\cos\theta}}-\frac{QR/\ell}{\sqrt{r^2+R^4/\ell^2-2rR^2\cos\theta/\ell}}.$$
Поверхностная плотность $\sigma=-\dfrac1{4\pi}\dfrac{\partial\varphi}{\partial r}\Big|_{r=R}$ (нормаль наружу из проводника). После дифференцирования и упрощения (стандартный результат метода изображений для сферы):
$$\sigma(\theta)=-\frac{Q(\ell^2-R^2)}{4\pi R\,(R^2+\ell^2-2R\ell\cos\theta)^{3/2}}.$$
Плотность максимальна по модулю при $\theta=0$ (ближайшая к заряду точка сферы) и убывает с ростом $\theta$; знак всюду отрицателен (индуцированный заряд притягивается к $Q>0$). Интеграл $\oint\sigma\,dA$ по всей сфере даёт полный наведённый заряд $q'=-QR/\ell$ (можно проверить прямым интегрированием — стандартная проверка правильности решения).

**Ответ:**
$$\sigma(\theta)=-\frac{Q(\ell^2-R^2)}{4\pi R(R^2+\ell^2-2R\ell\cos\theta)^{3/2}}.$$

===== 2.4. Конденсатор с металлической сеткой =====

**Условие:**
Изменится ли ёмкость плоского конденсатора (площадь пластин $S$, расстояние между ними $d$), если: а) параллельно пластинам расположить металлическую сетку на расстоянии $a$ от одной из обкладок; б) затем соединить сетку с этой обкладкой; в) или заземлить сетку и соединить пластины проводом таким образом, чтобы сетка и пластины представляли собой две обкладки конденсатора?

**Решение:**
Ключевое отличие сетки от сплошной пластины: сетка электрически «прозрачна» для поля (силовые линии проходят между проводами сетки), если сетка не подключена к цепи — в этом случае она не искажает распределение поля в первом приближении (густая сетка).

**а) Сетка изолирована (плавающий потенциал).** Поле беспрепятственно проходит сквозь сетку, распределение поля между обкладками не меняется:
$$C_a=\frac{\varepsilon S}{4\pi d}=C_0\ \ (\text{не изменится}).$$

**б) Сетка соединена с ближайшей обкладкой.** Сетка становится эквипотенциальной с этой обкладкой. Область между сеткой и «своей» обкладкой (толщиной $a$) оказывается ограничена с обеих сторон одинаковым потенциалом без объёмного заряда — поле там обращается в нуль, и эта область выпадает из рабочего зазора. Эффективное расстояние между разнополюсными обкладками сокращается до $d-a$:
$$C_b=\frac{\varepsilon S}{4\pi (d-a)}>C_0\ \ (\text{увеличится}).$$

**в) Сетка заземлена, обе исходные пластины соединены проводом между собой.** Теперь сетка (потенциал $0$) и объединённые пластины (общий потенциал $V$) образуют два плоских конденсатора, включённых **параллельно** между одними и теми же двумя узлами: один — зазор $a$ (сетка–ближняя пластина), другой — зазор $d-a$ (сетка–дальняя пластина):
$$C_в=\frac{\varepsilon S}{4\pi a}+\frac{\varepsilon S}{4\pi (d-a)}=\frac{\varepsilon S}{4\pi}\cdot\frac{d}{a(d-a)}.$$
Поскольку $d^2>a(d-a)$ всегда (это равносильно $(d-2a)^2\ge0$... точнее $d^2-a(d-a)=d^2-ad+a^2=(a-d/2)^2+3d^2/4>0$), получаем $C_в>\varepsilon S/(4\pi d)=C_0$ — ёмкость увеличивается, причём сильнее, чем в случае б).

**Ответ:** а) не изменится, $C=\varepsilon S/(4\pi d)$; б) увеличится, $C=\varepsilon S/[4\pi(d-a)]$; в) увеличится ещё больше, $C=\dfrac{\varepsilon S}{4\pi}\cdot\dfrac{d}{a(d-a)}$.