====== Решение задач по оптике (Дифракция) ======

---

^ Задача 1 ^
На отверстие в непрозрачном экране падает по нормали параллельный пучок монохроматического света. В точке $A$ за экраном на оси пучка интенсивность света равна $I_0$, если в отверстии укладывается одна зона Френеля. Как изменится интенсивность в $A$, если радиус отверстия уменьшить в $k$ раз?

=== Решение ===

  - **Радиус зон Френеля:** Для плоской волны радиус $m$-й зоны Френеля определяется формулой:
    $$r_m = \sqrt{m \lambda b}$$
    где $\lambda$ — длина волны, $b$ — расстояние до точки наблюдения $A$.

  - **Первоначальное состояние:** В отверстии укладывается одна зона ($m=1$). Радиус отверстия $R_1 = \sqrt{\lambda b}$. Амплитуда колебаний от одной зоны — $E_1$. Интенсивность $I_0 \propto E_1^2$.

  - **Изменение радиуса:** Радиус уменьшили в $k$ раз: $R_2 = \frac{R_1}{k}$. Новое число зон Френеля $m_2$ в отверстии:
    $$R_2 = \sqrt{m_2 \lambda b} \implies \frac{\sqrt{\lambda b}}{k} = \sqrt{m_2 \lambda b} \implies m_2 = \frac{1}{k^2}$$
    Так как $k > 1$, открыта лишь часть первой зоны Френеля.

  - **Амплитуда и интенсивность:** Результирующая амплитуда $E$ от части зоны определяется фазовым сдвигом $\phi = m \pi$. Для $m_2 = 1/k^2$ фаза $\phi = \frac{\pi}{k^2}$. 
    Используя векторную диаграмму (хорда дуги окружности):
    $$E = E_1 \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) = E_1 \sin\left(\frac{\pi}{2k^2}\right)$$
    Следовательно, интенсивность $I \propto E^2$:
    $$I = I_0 \sin^2 \left( \frac{\pi}{2k^2} \right)$$

**Ответ:** $I = I_0 \sin^2 \left( \frac{\pi}{2k^2} \right)$

---

^ Задача 2 ^
Интенсивность центрального максимума при дифракции на одной щели равна $I_0$. Определить интенсивности последующих максимумов. Определить угловое положение главного максимума для $\lambda_0 = 5000 \text{ \AA}$ и $a = 10^{-2} \text{ мм}$.

=== Решение ===

  - **Распределение интенсивности:** При дифракции Фраунгофера на одной щели:
    $$I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin \alpha}{\alpha} \right)^2, \quad \text{где } \alpha = \frac{\pi a \sin \theta}{\lambda}$$

  - **Интенсивности последующих максимумов:** Побочные максимумы находятся при $\alpha_k \approx \pm (k + 1/2)\pi$ для $k = 1, 2, 3 \dots$.
    *   **1-й максимум:** $\alpha_1 \approx 1.5 \pi \implies I_1 = I_0 \left( \frac{\sin(1.5\pi)}{1.5\pi} \right)^2 = \frac{I_0}{2.25 \pi^2} \approx 0.045 I_0$
    *   **2-й максимум:** $\alpha_2 \approx 2.5 \pi \implies I_2 = I_0 \left( \frac{\sin(2.5\pi)}{2.5\pi} \right)^2 = \frac{I_0}{6.25 \pi^2} \approx 0.016 I_0$
    *   **3-й максимум:** $\alpha_3 \approx 3.5 \pi \implies I_3 = I_0 \left( \frac{\sin(3.5\pi)}{3.5\pi} \right)^2 = \frac{I_0}{12.25 \pi^2} \approx 0.008 I_0$

  - **Угловое положение:**
    *   **Центр главного максимума:** $\theta = 0$.
    *   **Ширина (до первого минимума):** Минимумы при $a \sin \theta = m \lambda$. Для $m=1$:
        $$\sin \theta_1 = \frac{\lambda}{a} = \frac{5000 \cdot 10^{-10} \text{ м}}{10^{-5} \text{ м}} = 0.05$$
        $\theta_1 \approx 0.05 \text{ рад} \approx 2.86^{\circ}$.

**Ответ:** Интенсивности: $0.045 I_0; 0.016 I_0; 0.008 I_0$. Положение центра: $\theta = 0$. Полуширина: $\approx 2.86^{\circ}$.