4.5. Из решения предыдущей задачи найти поле в ближней (квазистационарной) зоне $r\ll \lambda .$ Показать, что для магнитного поля получается формула закона Био–Савара, а для электрического — поле диполя.

---

Магнитное поле:

$$B_{\alpha}=\left(\frac{\omega}{c}-\frac{i}{r}\right)\frac{\omega}{cr}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta\approx$$ $$ -\frac{i\omega}{cr^{2}}p_{0}e^{i\omega t}\sin\theta=-\frac{1}{cr^{2}}\frac{\partial}{\partial t}p_{0}e^{i\omega t}\sin\theta=-\frac{1}{cr^{2}}\frac{\partial}{\partial t}q\ell_{0}e^{i\omega t}\sin\theta=$$ $$-\frac{J}{cr^{2}}\ell_{0}\sin\theta=-\frac{J\left[\vec{r}\times\vec{\ell}_{0}\right]}{cr^{3}}.$$

Электрическое поле

$$E_{r}=-2\left(\frac{1}{r}+\frac{i\omega}{c}\right)\frac{p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\cos\theta}{r^{2}}\approx$$ $$ -2\frac{p_{0}e^{i\omega t}\cos\theta}{r^{3}}=-2\frac{p\cos\theta}{r^{3}},$$

$$E_{\theta}=\left(\frac{1}{r^{2}}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}-\frac{i\omega}{rc}\right)\frac{p_{0}\sin\theta e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}}{r}\approx$$ $$ \frac{p_{0}\sin\theta e^{i\omega t}}{r^{3}}=\frac{p\sin\theta}{r^{3}}.$$