Семинары по электромагнетизму 3 семестр. Семинар 2. Потенциал электрического поля

Электрический диполь состоит из двух зарядов, равных по величине и противоположных по знаку, расстояние между которыми $2a$; диполь расположен вдоль оси $x$, начало координат — в центре диполя. Найти: а) потенциал в точке $P$ (на серединном перпендикуляре); б) потенциал в точке $R$ (на оси $x$, координата $x$); в) напряжённость поля на оси $x$ при $x\gg a$.

а) Точка $P$ равноудалена от обоих зарядов, поэтому $\varphi_P=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{a^2+y^2}}-\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{a^2+y^2}}=0$.

б) $\varphi_R=\dfrac{-q}{4\pi\varepsilon_0(x-a)}+\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0(x+a)}=-\dfrac{qa}{2\pi\varepsilon_0(x^2-a^2)}$.

в) При $x\gg a$: $\varphi_R\approx-\dfrac{qa}{2\pi\varepsilon_0x^2}$, откуда $$E_x=-\frac{d\varphi_R}{dx}=-\frac{qa}{\pi\varepsilon_0x^3}.$$

а) $\varphi_P=0$; б) $\varphi_R=-\dfrac{qa}{2\pi\varepsilon_0(x^2-a^2)}$; в) $E_x=-\dfrac{qa}{\pi\varepsilon_0x^3}$ (диполь: $p=2qa$, так что $E_x=-p/(2\pi\varepsilon_0x^3)$).

а) Найти потенциал точки $P$, расположенной на оси тонкого однородно заряженного кольца радиусом $a$; полный заряд кольца $Q$. б) Найти напряжённость поля в той же точке $P$.

а) $\varphi=\displaystyle\int\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{x^2+a^2}}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{x^2+a^2}}$ (так как $r=\sqrt{x^2+a^2}$ одинаково для всех элементов кольца).

б) По симметрии поле на оси имеет только компоненту $E_x$: $$E_x=-\frac{d\varphi}{dx}=\frac{Qx}{4\pi\varepsilon_0(x^2+a^2)^{3/2}}.$$

$\varphi=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{x^2+a^2}}$, $E_x=\dfrac{Qx}{4\pi\varepsilon_0(x^2+a^2)^{3/2}}$.

Найти электрический потенциал на оси диска с поверхностной плотностью заряда $\sigma$ и радиусом $R$.

Разбиваем диск на кольца радиуса $r$, толщины $dr$: $dq=2\pi\sigma r\,dr$. По задаче 2, потенциал такого кольца в точке на оси на расстоянии $x$: $d\varphi=\dfrac{\sigma r\,dr}{2\varepsilon_0\sqrt{x^2+r^2}}$. Интегрируя по $r$ от $0$ до $R$: $$\varphi=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\int_0^R\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2+x^2}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl[\sqrt{R^2+x^2}-x\Bigr].$$ Напряжённость: $E_x=-d\varphi/dx=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl[1-\dfrac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}\Bigr]$.

$\varphi=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\bigl(\sqrt{R^2+x^2}-x\bigr)$, $E_x=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1-\dfrac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}\Bigr)$.

Вычислить потенциал поля шара радиуса $a$, равномерно заряженного по объёму (полный заряд $q$).

Вне шара ($r\ge a$) поле точечно-подобно: $E=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$, и, полагая $\varphi(\infty)=0$: $$\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}\quad(r\ge a).$$ Внутри шара ($r\le a$) поле $E=\dfrac{qr}{4\pi\varepsilon_0a^3}$. Разность потенциалов между поверхностью и точкой $r$: $\Delta\varphi=\displaystyle\int_r^aE\,dr=\dfrac{q}{8\pi\varepsilon_0a^3}(a^2-r^2)$. Прибавляя потенциал поверхности $\varphi(a)=q/(4\pi\varepsilon_0a)$: $$\varphi=\frac{q}{8\pi\varepsilon_0a^3}\bigl(3a^2-r^2\bigr)\quad(r\le a).$$

$\varphi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r}$ при $r\ge a$; $\varphi=\dfrac{q}{8\pi\varepsilon_0a^3}(3a^2-r^2)$ при $r\le a$.

Вычислить потенциал поля сферы радиуса $a$, равномерно заряженной по поверхности (заряд $q$).

Вне сферы поле совпадает с полем точечного заряда в центре, внутри — равно нулю (весь заряд снаружи любой внутренней гауссовой сферы), значит потенциал внутри постоянен и равен потенциалу на поверхности.

$\varphi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r}$ при $r\ge a$; $\varphi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0a}=\text{const}$ при $r\le a$.

Вычислить потенциал поля равномерно заряженной (по объёму, плотность $\rho$) бесконечной плоскопараллельной пластинки толщины $2a$.

Заряд на единицу площади с одной стороны от центра — $\rho a$. Вне пластинки ($|x|>a$) поле однородно по модулю: $E=\rho a/\varepsilon_0$ (знак зависит от стороны), внутри ($|x|<a$) по теореме Гаусса $E=\rho x/\varepsilon_0$. Интегрируя $E=-d\varphi/dx$ и сшивая на границе $x=a$ (потенциал непрерывен): $$\varphi(x)=-\frac{\rho}{2\varepsilon_0}\bigl(x^2+a^2\bigr)+C\quad(|x|\le a),$$ $$\varphi(x)=-\frac{\rho a}{\varepsilon_0}|x|+C'\quad(|x|\ge a),$$ где константы выбираются из непрерывности $\varphi$ при $x=\pm a$.

Внутри пластинки $\varphi=-\dfrac{\rho}{2\varepsilon_0}(x^2+a^2)+C$; вне — линейно убывает по модулю $x$ с наклоном $\rho a/\varepsilon_0$.

Вычислить потенциал поля бесконечно длинной и бесконечно тонкой прямолинейной нити, равномерно заряженной с линейной плотностью $\lambda$.

Из $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}=-d\varphi/dr$ интегрированием получаем (потенциал определён с точностью до постоянной, на бесконечности не обращается в нуль — типично для бесконечно протяжённых источников): $$\varphi=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r+C.$$

$\varphi=-\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r+C$.

Радиус внутренней сферы вакуумного сферического конденсатора $r=1$ см, радиус внешней сферы $R=4$ см. Между сферами приложена разность потенциалов $U=3$ кВ. Какую скорость получит электрон, приблизившись к центру сфер с расстояния $r_1=3$ см до расстояния $r_2=2$ см?

Заряд конденсатора найдём из $U=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\dfrac1r-\dfrac1R\Bigr)=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{R-r}{rR}$, откуда $\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}=U\dfrac{rR}{R-r}$.

В зазоре между сферами поле точечно-подобно, поэтому разность потенциалов между $r_1$ и $r_2$ (оба лежат в зазоре): $$\varphi(r_1)-\varphi(r_2)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right)=U\frac{rR}{R-r}\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right).$$ Подставляя числа ($r=0{,}01$, $R=0{,}04$, $r_1=0{,}03$, $r_2=0{,}02$ м): $\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}=3000\cdot\dfrac{0{,}01\cdot0{,}04}{0{,}03}=40{,}0$ В·м, и $\varphi(r_1)-\varphi(r_2)=40{,}0\cdot(33{,}3-50{,}0)=-667$ В (внутренняя сфера положительна, электрон движется к области более высокого потенциала).

Работа поля над электроном (заряд $-e$): $A=(-e)[\varphi(r_1)-\varphi(r_2)]=e\cdot667\approx1{,}07\cdot10^{-16}$ Дж — это положительная работа (электрон притягивается к положительной внутренней сфере и разгоняется). Из $A=\dfrac{mv^2}2$: $$v=\sqrt{\frac{2A}{m_e}}.$$

$v=\sqrt{\dfrac{2eU}{m_e}\dfrac{rR}{R-r}\left(\dfrac1{r_1}-\dfrac1{r_2}\right)}\approx1{,}5\cdot10^7$ м/с.

Два сферических проводника радиусами $r_1$ и $r_2$ находятся на расстоянии друг от друга много большем радиусов сфер и соединены проводом. Заряды сфер распределены однородно и равны $q_1$ и $q_2$. Найти отношение напряжённостей электрического поля на поверхностях сфер.

Соединённые проводником сферы имеют равные потенциалы: $\dfrac{q_1}{4\pi\varepsilon_0r_1}=\dfrac{q_2}{4\pi\varepsilon_0r_2}$, откуда $q_1/q_2=r_1/r_2$. Поля на поверхностях: $E_i=q_i/(4\pi\varepsilon_0r_i^2)$, поэтому $$\frac{E_1}{E_2}=\frac{q_1}{q_2}\cdot\frac{r_2^2}{r_1^2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{r_2^2}{r_1^2}=\frac{r_2}{r_1}.$$

$E_1/E_2=r_2/r_1$ (поле сильнее у сферы меньшего радиуса).

На расстоянии $r_1=4$ см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд $q=0{,}66$ нКл. Под действием поля заряд приближается к нити до расстояния $r_2=2$ см; при этом совершается работа $A=50$ эрг. Найти линейную плотность заряда $\tau$ на нити.

Работа поля нити над зарядом: $A=q\bigl[\varphi(r_1)-\varphi(r_2)\bigr]=q\cdot\dfrac{\tau}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon}\ln\dfrac{r_1}{r_2}$ (используя $\varphi=-\dfrac{\tau}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon}\ln r+C$; для вакуума/воздуха $\varepsilon=1$). Отсюда $$\tau=\frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon A}{q\ln(r_1/r_2)}.$$ Переводя $A=50$ эрг $=5\cdot10^{-6}$ Дж (СГС→СИ) и подставляя числа, получаем $\tau\approx0{,}6$ мкКл/м.

$\tau=\dfrac{2\pi\varepsilon_0A}{q\ln(r_1/r_2)}\approx0{,}6$ мкКл/м.