Электрическое поле в диэлектрике. Векторы поляризации и индукции. Граничные условия

Условие: Точечный заряд $q$ расположен на плоской границе раздела двух сред с диэлектрическими проницаемостями $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$. Определить напряжённость $\vec E$, индукцию $\vec D$ и потенциал $\varphi$ в обеих средах.

Решение: Заряд лежит точно в плоскости $z=0$, разделяющей полупространства $\varepsilon_1$ ($z>0$) и $\varepsilon_2$ ($z<0$). По симметрии задачи потенциал в каждой среде можно искать в виде $\varphi_i=A_i/r$ ($r$ — расстояние от заряда, одинаковое выражение по обе стороны).

Непрерывность потенциала (тангенциальной $E$) на границе. В любой точке самой границы ($z=0$) величина $r$ совпадает при подходе из первой и из второй среды, поэтому касательная (в данном случае радиальная в плоскости границы) составляющая поля непрерывна автоматически, только если $A_1=A_2\equiv A$.

Теорема Гаусса для $\vec D$. Окружим заряд малой сферой радиуса $r$. Поток $\vec D$ через неё (полусфера в среде 1 плюс полусфера в среде 2) равен $4\pi q$: $$\oint\vec D\,d\vec S=\varepsilon_1E_1\cdot2\pi r^2+\varepsilon_2E_2\cdot2\pi r^2=2\pi r^2\left(\frac{\varepsilon_1A}{r^2}+\frac{\varepsilon_2A}{r^2}\right)=2\pi A(\varepsilon_1+\varepsilon_2)=4\pi q.$$ Отсюда $A=\dfrac{2q}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}$.

Ответ: $$\varphi_1=\varphi_2=\frac{2q}{(\varepsilon_1+\varepsilon_2)\,r},\qquad \vec E_i=\frac{2q}{(\varepsilon_1+\varepsilon_2)\,r^2}\hat r\ \ (i=1,2;\text{ одинаково в обеих средах}),$$ $$\vec D_1=\frac{2\varepsilon_1q}{(\varepsilon_1+\varepsilon_2)r^2}\hat r,\qquad \vec D_2=\frac{2\varepsilon_2q}{(\varepsilon_1+\varepsilon_2)r^2}\hat r.$$

Условие: Заряд $Q$ расположен на расстоянии $a$ вблизи плоской границы двух диэлектриков с $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ (сам заряд — в среде $\varepsilon_1$). Найти напряжённость электрического поля $\vec E$ в каждом из диэлектриков. Какова сила, действующая на $Q$?

Решение: Классический метод изображений для диэлектрической границы. Пусть заряд $Q$ находится в среде $1$ на расстоянии $a$ от плоской границы $z=0$ (среда 2 — при $z<0$).

Поле в среде 1 ($z>0$, где реально расположен заряд) — как если бы вся среда была однородной с $\varepsilon_1$, а вместо границы стоял точечный заряд-изображение $$Q'=Q\,\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}$$ на зеркальном расстоянии $a$ по другую сторону границы: $$\varphi_1=\frac{Q}{\varepsilon_1r_1}+\frac{Q'}{\varepsilon_1r_2},$$ где $r_1,r_2$ — расстояния от точки наблюдения до заряда $Q$ и до его изображения соответственно.

Поле в среде 2 ($z<0$) — как если бы вся среда была однородной с $\varepsilon_2$, а вместо $Q$ там находился заряд $$Q''=\frac{2\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}\,Q$$ в точке фактического расположения $Q$: $$\varphi_2=\frac{Q''}{\varepsilon_2\,r},\qquad r\text{ — расстояние от истинного положения }Q.$$

(Оба результата стандартно проверяются подстановкой в граничные условия $\varphi_1=\varphi_2$, $D_{1n}=D_{2n}$ при $z=0$.)

Сила на заряд $Q$. Она создаётся полем «отражённого» заряда $Q'$ (сила взаимодействия $Q$ с самим собой, разумеется, не учитывается): $$F=\frac{QQ'}{\varepsilon_1(2a)^2}=\frac{Q^2(\varepsilon_1-\varepsilon_2)}{4\varepsilon_1(\varepsilon_1+\varepsilon_2)a^2}.$$

Ответ: $$\varphi_1=\frac{Q}{\varepsilon_1}\left(\frac1{r_1}+\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}\cdot\frac1{r_2}\right),\qquad \varphi_2=\frac{2Q}{(\varepsilon_1+\varepsilon_2)r},$$ $$F=\frac{Q^2(\varepsilon_1-\varepsilon_2)}{4\varepsilon_1(\varepsilon_1+\varepsilon_2)a^2}$$ — притяжение к границе при $\varepsilon_2>\varepsilon_1$ (заряд «втягивается» в более плотный диэлектрик), отталкивание при $\varepsilon_2<\varepsilon_1$.

Условие: Заряд $Q$, расположенный в диэлектрической среде с проницаемостью $\varepsilon$, удалён на расстояние $a$ от проводящей (заземлённой) плоскости. Определить распределение индуцированных на плоскости зарядов и силу, действующую на $Q$.

Решение: Здесь скачка диэлектрической проницаемости нет — вся среда однородна ($\varepsilon$), меняется только граничное условие (проводник). Метод изображений работает так же, как в вакууме, только вся кулоновская картина ослаблена множителем $1/\varepsilon$: изображение — заряд $-Q$ на расстоянии $a$ по другую сторону плоскости. $$\varphi(\vec r)=\frac{Q}{\varepsilon r_1}-\frac{Q}{\varepsilon r_2}.$$

Поверхностная плотность индуцированного заряда. Нормальная составляющая поля у плоскости (стандартный вывод, как для одиночного заряда над плоскостью, но с $1/\varepsilon$) даёт $$\sigma(\rho)=-\frac{Qa}{2\pi\varepsilon\,(a^2+\rho^2)^{3/2}},$$ где $\rho$ — расстояние от основания перпендикуляра, опущенного из $Q$ на плоскость. Интеграл $\int\sigma\,dS=-Q$ — полный индуцированный заряд равен $-Q$, как и должно быть.

Сила на заряд — притяжение к плоскости, обусловленное зарядом-изображением: $$F=\frac{Q^2}{\varepsilon(2a)^2}=\frac{Q^2}{4\varepsilon a^2}.$$

Ответ: $$\sigma(\rho)=-\frac{Qa}{2\pi\varepsilon(a^2+\rho^2)^{3/2}},\qquad F=\frac{Q^2}{4\varepsilon a^2}\ \text{(притяжение к плоскости).}$$

Условие: Определить ёмкость сферического конденсатора, заполненного слоями диэлектрика с проницаемостями $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ (геометрические размеры первого слоя: $a<r<b$, второго: $b<r<c$; внутренняя обкладка радиуса $a$, внешняя — радиуса $c$). Определить распределение связанных зарядов.

Решение: На внутренней обкладке — свободный заряд $Q$. По теореме Гаусса (сферическая симметрия, свободный заряд $Q$ внутри любой сферы $a<r<c$) индукция всюду в зазоре $D(r)=Q/r^2$ — одна и та же функция в обоих слоях (скачка свободного заряда на границе $r=b$ нет). Напряжённость в каждом слое: $E_i=D/\varepsilon_i=Q/(\varepsilon_ir^2)$.

Разность потенциалов: $$\Delta\varphi=\int_a^bE_1\,dr+\int_b^cE_2\,dr=\frac Q{\varepsilon_1}\left(\frac1a-\frac1b\right)+\frac Q{\varepsilon_2}\left(\frac1b-\frac1c\right).$$

Ёмкость: $$C=\frac Q{\Delta\varphi}=\left[\frac1{\varepsilon_1}\left(\frac1a-\frac1b\right)+\frac1{\varepsilon_2}\left(\frac1b-\frac1c\right)\right]^{-1}.$$

Связанные заряды. Поляризация в слое $i$: $P_i=\chi_iE_i=\dfrac{\varepsilon_i-1}{4\pi}\cdot\dfrac Q{\varepsilon_ir^2}$ (радиальна, $\propto1/r^2$ — объёмная плотность связанного заряда $\operatorname{div}\vec P=0$ в толще каждого слоя, весь связанный заряд — поверхностный). Поверхностная плотность $\sigma_{\text{св}}=-P_r$ на внутренней стороне слоя (нормаль наружу из диэлектрика) и $+P_r$ на внешней: $$\sigma_{\text{св}}(a^+)=-\frac{\varepsilon_1-1}{4\pi\varepsilon_1}\cdot\frac Q{a^2}\ \ \text{(на внутренней обкладке)},$$ $$\sigma_{\text{св}}(b)=\frac Q{4\pi b^2}\left(\frac1{\varepsilon_2}-\frac1{\varepsilon_1}\right)\ \ \text{(на границе раздела слоёв, результирующая с обеих сторон)},$$ $$\sigma_{\text{св}}(c^-)=-\frac{\varepsilon_2-1}{4\pi\varepsilon_2}\cdot\frac Q{c^2}\ \ \text{(на внешней обкладке).}$$

Ответ: $$C=\left[\frac1{\varepsilon_1}\Bigl(\frac1a-\frac1b\Bigr)+\frac1{\varepsilon_2}\Bigl(\frac1b-\frac1c\Bigr)\right]^{-1};$$ связанные заряды — на трёх поверхностях $a,b,c$ по формулам выше (объёмная плотность всюду нулевая).

Условие: Определить энергию диполя $U$ и силу его взаимодействия с заземлённым проводящим шаром радиуса $R$, погружённым в жидкий диэлектрик с проницаемостью $\varepsilon$. Диполь расположен на расстоянии $a>R$ от центра шара и ориентирован перпендикулярно соединяющей линии, его дипольный момент равен $\vec p$. Каков вращательный момент, действующий на диполь?

Решение: Построение изображения. Смоделируем диполь как пару зарядов $\pm q$ на малом расстоянии $\delta$ ($p=q\delta$), под углом $\theta$ к радиус-вектору (в нашей задаче $\theta=90^\circ$, но полезно сначала получить результат для произвольного $\theta$). Каждый из зарядов имеет обычное изображение в заземлённом шаре (заряд $-q_iR/r_i$ на расстоянии $R^2/r_i$ от центра, вдоль того же направления). Раскладывая по $\delta$ и переходя к пределу точечного диполя, получаем, что изображением диполя служит не только диполь, но и точечный заряд (если $\theta\ne90^\circ$), расположенные в инверсной точке $a'=R^2/a$: $$Q_{\text{из}}=\frac{pR\cos\theta}{a^2},\qquad \vec p_{\text{из}}=\left(\frac Ra\right)^3p\bigl(\cos\theta\,\hat z-\sin\theta\,\hat x\bigr)$$ (ось $z$ — вдоль радиус-вектора шар→диполь, ось $x$ — перпендикулярно ей; при $\theta=90^\circ$ монополь обращается в нуль, а изображение-диполь направлено противоположно $x$-компоненте реального диполя — типичное для «отражения» поведение).

Энергия. Энергия системы «реальный источник + наведённые (несамостоятельные) заряды» равна половине энергии взаимодействия с изображением, вычисленной как для двух *независимых* источников (тот же множитель $1/2$, что и для точечного заряда у заземлённой сферы: $U_{\text{заряд}}=-q^2R/[2\varepsilon(a^2-R^2)]$ — проверочный частный случай). Взаимодействие диполь–монополь плюс диполь–диполь (на расстоянии $d=a-R^2/a=(a^2-R^2)/a$ между $\vec p$ и изображением) даёт после приведения подобных $$U_{\text{наивно}}(\theta)=-\frac{p^2R\cos^2\theta}{\varepsilon a^2d^2}-\frac{p^2R^3(1+\cos^2\theta)}{\varepsilon a^3d^3},\qquad U(\theta)=\tfrac12U_{\text{наивно}}(\theta).$$

При $\theta=90^\circ$ первое слагаемое (с монополем) обращается в нуль, и остаётся $$U=\frac12\left(-\frac{p^2R^3}{\varepsilon a^3d^3}\right)=-\frac{p^2R^3}{2\varepsilon(a^2-R^2)^3}.$$

Сила (вдоль линии, соединяющей диполь с центром шара): $$F=-\frac{dU}{da}=-\frac{3ap^2R^3}{\varepsilon(a^2-R^2)^4}$$ — отрицательный знак означает притяжение диполя к шару.

Вращательный момент. Из общей формулы $U(\theta)$ выше: $$\frac{\partial U_{\text{наивно}}}{\partial\theta}=p^2\sin2\theta\left[\frac{R}{a^2d^2}+\frac{R^3}{a^3d^3}\right].$$ При $\theta=90^\circ$ имеем $\sin2\theta=\sin180^\circ=0$ — то есть вращательный момент в точности равен нулю в этой конфигурации: перпендикулярная ориентация является экстремумом энергии по углу. Вторая производная $$\frac{\partial^2U_{\text{наивно}}}{\partial\theta^2}\bigg|_{\theta=90^\circ}=2p^2\cos180^\circ\left[\frac R{a^2d^2}+\frac{R^3}{a^3d^3}\right]=-2p^2\left[\frac R{a^2d^2}+\frac{R^3}{a^3d^3}\right]<0,$$ то есть это максимум энергии — положение неустойчивого равновесия: при сколь угодно малом отклонении от перпендикулярной ориентации возникает момент, стремящийся довернуть диполь к радиальному направлению (устойчивая ориентация — вдоль линии к центру шара).

Ответ: $$U=-\frac{p^2R^3}{2\varepsilon(a^2-R^2)^3},\qquad F=\frac{3ap^2R^3}{\varepsilon(a^2-R^2)^4}\ \text{(притяжение)},$$ вращательный момент при строго перпендикулярной ориентации равен нулю, но это неустойчивое равновесие (диполь стремится развернуться в радиальном направлении).