Это старая версия документа!
1.31. Эффективным методом расчета оптических систем является
матричный формализм. В этом методе точка пересечения луча с плоскостью, ортогональной оси системы, характеризуется расстоянием $x$ до оси и углом $\alpha = \frac{dx}{dz},$ между лучом и осью. Тогда точки $(x_1, \alpha_1)$ и $(x_2 , \alpha_2),$ являющиеся изображением друг друга (сопряженные точки), связаны матрицей $M_{12}$ оптического преобразования, причем $\text{Det}M_{12} = \frac{n_1}{n_2}$ — отношению показателей преломления среды в точках
1, 2. Так, матрица пустого промежутка длиной $d$ есть
$$\left(\begin{array}{cc}
1 & d\\
0 & 1
\end{array}\right)$$
а матрица тонкой
линзы, помещенной в среду с $n = 1,$ имеет вид
$$M_f=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
-\frac 1f & 1
\end{array}\right).$$
Используя матричный формализм: 1) получите «формулу тонкой линзы»; 2) найдите положение фокусов, главных плоскостей и фокусные расстояния «толстой» линзы и покажите, что $\frac 1a + \frac 1b = \frac 1f,$ где $a, b$
расстояния от предмета и изображения до входной и выходной главных плоскостей соответственно.
Запишем преобразование толстой линзы:
$\left(\begin{array}{cc}
1 & \ell
0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & 0
\frac{n-1}{-R_{2}} & \frac{n}{1}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & d
0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & 0
\frac{1-n}{nR_{1}} & \frac{1}{n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x
\alpha
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
x'
\beta
\end{array}\right)$
Перемножим матрицы:
$\left(\begin{array}{cc}
1 & \ell
0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & 0
\frac{n-1}{-R_{2}} & \frac{n}{1}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & d
0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & 0
\frac{1-n}{nR_{1}} & \frac{1}{n}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell & \ell n
-\frac{n-1}{R_{2}} & n
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1+\frac{1-n}{nR_{1}}d & \frac{d}{n}
\frac{1-n}{nR_{1}} & \frac{1}{n}
\end{array}\right)=$
$\left(\begin{array}{cc}
\left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{1-n}{R_{1}} & \left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\frac{d}{n}+\ell
-\frac{n-1}{R_{2}}\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\frac{1-n}{R_{1}} & -\frac{n-1}{R_{2}}\frac{d}{n}+1
\end{array}\right)$
Найдём такой $\ell$ для которого $x'=0$ при $\alpha=0:$
$\left(\left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{1-n}{R_{1}}\right)x=0$
тогда
$\left(1-\frac{n-1}{R_{2}}\ell\right)\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{1-n}{R_{1}}=0$
$\frac{n-1}{R_{2}}\ell\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\ell\frac{n-1}{R_{1}}=1+\frac{1-n}{nR_{1}}d$
$\ell\left(\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{1}}-\frac{n-1}{nR_{1}R_{2}}d\right)=\frac{1}{n-1}-\frac{d}{nR_{1}}$
$\ell=R_{2}\frac{nR_{1}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{1}+nR_{2}-(n-1)d\right)}$
Найдём $f_{2}$. Для этого сначала найдём угол после выхода луча из толстой линзы \textemdash{} $\alpha'=m_{21}\cdot x$. При этом, что бы произошло пересечение с главной оптической осью угол $\alpha'<0.$ Из геометрии распространения луча: $x=-f_{2}\cdot\text{tg}\alpha'\approx-f_{2}\cdot\alpha'$, следовательно $-f_{2}^{-1}=m_{21}=-\frac{n-1}{R_{2}}\left(1+\frac{1-n}{nR_{1}}d\right)+\frac{1-n}{R_{1}}=-\left(n-1\right)\left(R_{1}^{-1}+R_{2}^{-1}-\frac{d\left(n-1\right)}{nR_{1}R_{2}}\right)$. Так как в $f_{2}$ радиусы обеих поверхностей входят симметрично, то запуская луч в обратную сторону придём к тому же результату так, что $f_{1}=f_{2}$.
Вычислим $h_{i}=f_{i}-\ell_{i},$ где $\ell_{2}=\ell=R_{2}\frac{nR_{1}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{1}+nR_{2}-(n-1)d\right)}$, а $\ell_{1}=R_{1}\frac{nR_{2}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}$
итак
$h_{1}=f_{1}-\ell_{1}=\frac{nR_{1}R_{2}}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}-R_{1}\frac{nR_{2}-d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}=\frac{R_{1}d\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\left(nR_{2}+nR_{1}-(n-1)d\right)}=\frac{(n-1)fd}{nR_{2}}$
если выразить через фокусное расстояние, то
$h_{1}=\frac{(n-1)fd}{nR_{2}}$
соответственно:
$h_{2}=\frac{(n-1)fd}{nR_{1}}$