3.4. Найти закон преломления линий тока на плоской поверхности раздела двух сред с проводимостями $\sigma_1$ и $\sigma_2$

В стационарном случае $\text{div} \vec{j}=0$, откуда $j_{1n}|=j_{2n}|$. Нормальные составляющие к границе раздела двух сред непрерывны, иначе на границе будет изменяться заряд. С другой стороны, $\text{rot}\vec{E}=0$, откуда следует непрерывность тангенциальной составляющей напряженности электрического поля $E_{1\tau}=E_{2\tau}$. Так как $\vec{j}=\sigma\vec{E}$, то $$j_{1\tau}=\sigma_{1}E_{1\tau}, \qquad \, j_{2\tau}=\sigma_{2}E_{2\tau}= \,j_{1\tau}\frac{\sigma_2}{\sigma_1}.$$

Поскольку $\frac{j_{1\tau}}{j_{1n}}=\text{tg}\, \alpha$, то $$\frac{\text{tg}\, \alpha_1}{\text{tg} \,\alpha_2}=\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\,.$$