Найдем магнитный момент сферы. Возьмем на поверхности сферы узкий поясок, заключенный между углами $\,\theta$ и $\,\theta+\,d\theta$. Заряд, вращаясь вместе со сферой, создает ток, величина которого на выделенном пояске $$dJ= \frac{dq}{dt} =\frac{\sigma dS}{dt} =\frac{\sigma (a^2\sin \theta d\theta d\alpha )}{dt} = \frac{1}{4\pi}Q\omega \sin\theta\,d\theta\,,$$ где $\omega =\frac{d\alpha}{dt}$ — угловая скорость вращения, $\,\sigma=Q/4\pi a^2$ — поверхностная плотность заряда. Магнитный момент этого тока $$d\vec{m}=\frac{dJ\,\vec{s}}{c}= \frac{\pi a^2Q\vec{\omega}}{4\pi c}\sin^3\theta\,d\theta\,.$$ Интегрируя по $\,\theta$, находим магнитный момент всей сферы: $$\vec{m}=\int d\vec{m}= \frac{Qa^2\vec{\omega}}{4c} \int\limits_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta= \frac{Qa^2\vec{\omega}}{3c}\,.$$

Найдем магнитный момент равномерно заряженного вращающегося вокруг одного из своих диаметров шара. Используя результат предыдущей задачи, магнитный момент тонкого шарового слоя радиуса $\,R$ толщины $\,dR$ выразится так: $$d\vec{m}=\frac{\vec{\omega}R^2}{3c}\,dQ\,,$$ где $\,dQ$ – заряд шарового слоя. Так как $$dQ=\frac{Q}{4\pi a^3/3}\cdot 4\pi R^2\,dR= \frac{3QR^2\,dR}{a^3}\,,$$ то магнитный момент шара будет равен

$$\vec{m}=\frac{Q\vec{\omega}}{ca^3} \int\limits_0^a R^4\,dR=\frac{Qa^2}{5c}\vec{\omega}\,.$$