5.9. Равномерно намагниченная сфера (идеализированный ферромагнетик) вносится во внешнее однородное магнитное поле $\vec{H}_0$. Найти результирующее магнитное поле. Магнитная проницаемость сферы $\mu_1$, окружающей среды $\mu_2$.

Пусть $\,\vec{M}_0$ — вектор намагниченности. Уравнения, описывающие распределение магнитного поля намагниченного шара в однородном магнитном поле, имеют вид $\text{rot}\vec{H}=0$, $\text{div} \vec{B}=0$, из которых следуют граничные условия $\,H_{1\tau}|=H_{2\tau}|;\;B_{1n}|=B_{2n}|$ (непрерывность тангенциальной составляющей напряженности магнитнго поля и непрерывность нормальной составляющей магнитной индукции). Решением первого уравнения является функция $\,\vec{H}=-\text{grad} \,\psi$. Подставляя это решение во второе уравнение, получаем уравнение Лапласа для скалярного потенциала $\;\nabla^2\psi=0$. Таким образом, задача о магнитном шаре в магнитном поле аналогична задаче о диэлектрическом шаре в электрическом поле (см. 2.8a). Потенциал внутри шара будем искать в виде $$\psi_1=-c_1(\vec{H}_0\,\vec{R})+ b_1(\vec{M}_0\,\vec{R}) \qquad \mbox{при}\qquad R\leq a\,.$$ Наличие второго слагаемого учитывает тот факт, что при снятии поля $\,\vec{H}_0$ в шаре остается поле, порождаемое собственной намагниченностью. Вне шара $$\psi_2=-(\vec{H}_0\,\vec{R})+ \frac{1}{R^3}\Big[b_2(\vec{M}_0\,\vec{R})+ b_3(\vec{H}_0\,\vec{R})\Big] \qquad \mbox{при}\qquad R\ge a\,.$$ Второе слагаемое учитывает наличие поля от собственного и индуцированного магнитных моментов шара. Направим ось $\,Z$ вдоль $\,\vec{H}_0$. Перепишем потенциалы в следующем виде: \[ \begin{array}{rll} \psi_1=&-c_1H_0R\cos\theta+ b_1M_0R\cos\theta_1& \mbox{при}\qquad R\leq a\, \\ \psi_2=&-H_0R\cos\theta+ \frac{b_3H_0\cos\theta}{R^2}+\frac{b_2M_0\cos\theta_1}{R^2}&\mbox{при}\qquad R\ge a\,. \end{array} \] где $\,\theta$ — угол между направлением поля $\,\vec{H}_0$ и радиус-вектором $\,\vec{R}$ до точки наблюдения, а $\,\theta_1$ — угол между направлением вектора намагниченности шара $\;\vec{M}_0$ и $\;\vec{R}_0$.

Запишем условие непрерывности потенциала на поверхности шара $\;\psi_1(a)=\psi_2(a)$. Оно эквивалентно условию непрерывности тангенциальной составляющей магнитного поля $\;H_{1\tau}=H_{2\tau}$: $$\bigg(H_0a-c_1H_0a-\frac{b_3H_0}{a^2}\bigg)\cos\theta= \bigg(\frac{b_2M_0}{a^2}-b_1M_0\bigg)\cos\theta_1\,.$$ Поскольку это равенство должно выполняться при любых углах $\,\theta$ и $\,\theta_1$, то коэффициенты при $\,\cos\theta$ и $\,\cos\theta_1$ обращаются в нуль. Получаем $$b_1=\frac{b_2}{a^3}\,,\qquad c_1=1-\frac{b_3}{a^3}\,.$$

Найдем проекции вектора $\,\vec{B}$ на направление радиус-вектора $\,\vec{R}$. Для идеализированного ферромагнетика внутри шара $$\vec{B}_1=\mu_1\vec{H}_1+4\pi\vec{M}_0 \qquad \mbox{при}\qquad R < a,$$ где $\vec{M}_0$ — постоянная, не зависящая от $\vec{H}$ намагниченность. Вне шара $\vec{B}_2\!=\!\mu_2\vec{H}_2$, тогда $$B_{1R}=\mu_1\bigg(-\frac{\partial \psi_1}{\partial R}\bigg)+ 4\pi M_0\cos\theta_1=$$ $$= \mu_1c_1H_0\cos\theta-\mu_1b_1M_0\cos\theta_1+ 4\pi M_0\cos\theta_1\,,$$ $$B_{2R}=\mu_2\bigg(-\frac{\partial \psi_2}{\partial R}\bigg)= \mu_2H_0\cos\theta+\frac{2\mu_2}{R^3}(b_2M_0\cos\theta_1+ H_0\cos\theta)\,.$$

Из условия непрерывности нормальной составляющей вектора $\,\vec{B}$ на поверхности шара $\;B_{1R}(a)=B_{2R}(a)$ получаем $$c_1=\frac{\mu_2}{\mu_1}\bigg(1-\frac{b_3}{a_3}\bigg)\,,\qquad b_1=\frac{4\pi}{\mu_1}\frac{2b_2}{a}\frac{\mu_2}{\mu_1}\,.$$ Окончательно $$c_1=\frac{3\mu_2}{2\mu_2+\mu_1}\,,\;\;\; b_1=\frac{4\pi}{2\mu_2+\mu_1}\,,\;\;\; b_2=\frac{4\pi a^3}{2\mu_2+\mu_1}\,,\;\;\; b_3=\frac{\mu_2-\mu_1}{2\mu_2+\mu_1}\,a^3\,.$$ $$\psi_1=-\frac{3\mu_2}{2\mu_2+\mu_1}(\vec{H}_0\,\vec{R})+ \frac{4\pi}{2\mu_2+\mu_1}(\vec{M}_0\,\vec{R}) \qquad \mbox{при}\qquad R\leq a\,.$$ $$\psi_2=-(\vec{H}_0\,\vec{R})+ \frac{(\vec{m}\,\vec{R})}{R^3} \qquad \mbox{при}\qquad R\ge a\,,$$ где $$\vec{m}=\frac{4\pi a^3}{2\mu_2+\mu_1}\vec{M}_0+ \frac{\mu_1-\mu_2}{2\mu_2+\mu_1}\,a^3\vec{H}_0\,.$$ Распределение напряженности магнитного поля имеет вид \[ \begin{split} \vec{H}_1=&-\vec{\nabla}\psi_1= \frac{3\mu_2}{2\mu_2+\mu_1}\vec{H}_0- \frac{4\pi}{2\mu_2+\mu_1}\vec{M}_0\;\;\mbox{при}\qquad R\leq a\,,\\ \vec{H}_2=&-\vec{\nabla}\psi_2=\vec{H}_0+ \frac{3\vec{R}(\vec{m}\,\vec{R})}{R^5}-\frac{\vec{m}}{R^3}\;\;\mbox{при}\qquad R> a\,. \end{split} \] При вычислении полей $\,\vec{H}_1$ и $\,\vec{H}_2$ использованы формулы векторного анализа $$\text{grad}\,(\varphi_1\,\varphi_2)=\varphi_1\,\text{grad} \,\varphi_2+ \varphi_2\, \text{grad}\,\varphi_1\,;$$ $$\text{grad}\,(\vec{A}\,\vec{B})=[\vec{A}\times \text{rot}\vec{B}]+ [\vec{B}\times \text{rot}\vec{A}]+(\vec{A}\,\vec{\nabla})\vec{B}+ (\vec{B}\,\vec{\nabla})\vec{A}$$ и $$\text{rot}\vec{R}=\text{rot}\vec{H}_0=\text{rot}\vec{M}_0=0$$ $$(\vec{H}_0\,\vec{\nabla})\vec{R}=\vec{H}_0\,,\qquad (\vec{R}\,\vec{\nabla})\vec{H}_0=0\,,$$ $$\text{grad}\,\bigg(\frac{1}{R^3}\bigg)=-\frac{3\vec{R}}{R^5}\,.$$ Если шар предварительно не был намагничен ($\vec{M}_0=0$), то \begin{eqnarray} \vec{H}_1&=&\frac{3\mu_2}{2\mu_2+\mu_1}\vec{H}_0\,,\\ \vec{H}_2&=&\vec{H}_0+\vec{H}_\text{дип}\,, \end{eqnarray} где $\,\vec{H}_\text{дип}\,$ — поле, создаваемое индуцированным магнитным моментом $$\vec{m}=\frac{\mu_1-\mu_2}{2\mu_2+\mu_1}\,a^3\vec{H}_0\,.$$