6.2. Вычислить внутреннюю часть самоиндукции единицы длины прямолинейного провода круглого сечения радиуса $a$. Магнитная проницаемость провода $\mu$.

Предположим, что по проводнику течет постоянный ток $J$. Он создает магнитное поле, которое можно найти, воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора $\vec{H}$: \begin{equation} \oint H_\ell\,d\ell=\frac{4\pi}{c}\int\limits_{S} (\vec{j}\,d\vec{s}), \end{equation} где $\vec{j}$ — плотность тока. Ввиду аксиальной симметрии напряженность магнитного поля зависит только от расстояния до оси провода и имеет только $\alpha$-ю составляющую $\,H_{\alpha}$ в цилиндрической системе координат ($z, r, \alpha$) с осью $\,Z$ по оси тока. Поэтому, взяв циркуляцию вектора $\,\vec{H}$ по окружности радиуса $\,r<a\,$ с центром на оси провода, найдем $$\oint H_\ell\,d\ell=H_{\alpha}\cdot2\pi r.$$

Поскольку $j=\text{const}$, то правая часть первого уравнения $$\frac{4\pi}{c}\int\limits_{S} (\vec{j}\,d\vec{s})=\frac{4\pi}{c}j\cdot\pi r^2= \frac{4\pi}{c}\frac{J}{a^2}r^2\,.$$ Окончательно находим $$H_{\alpha}=\frac{2J}{ca^2}r\, \qquad \mbox{при}\qquad r\leq a\,.$$ Зная распределение напряженности магнитного поля $\,\vec{H}$, находим энергию магнитного поля, запасенную внутри единицы длины провода. Она равна \begin{equation} W=\frac{1}{8\pi}\int(\vec{B}\,\vec{H})\,dv= \frac{\mu}{8\pi}\int H^2\,dv=\frac{\mu J^2}{4c^2}\,. \end{equation} Здесь интеграл берется по объему проводника, и учтено, что $\vec{B}~=~\mu\vec{H}$. С другой стороны, магнитная энергия $W=LJ^2/2c^2.$ Сравнивая с последним выражением, находим $\,L=\frac 12\mu .$