6.6. Самоиндукция плоского контура в воздухе $(\mu=1)$ равна $L$. Найти самоиндукцию контура, если его положить на плоскую границу полупространства, заполненного однородным магнетиком с магнитной проницаемостью $\mu$.

Для плоского контура $\;\Phi=LJ/c$, где $\,\Phi$ — поток вектора магнитной индукции через контур; $\,J$ — ток в контуре; $\,L$ — индуктивность контура. Пусть $\,\vec{H}_0$ — поле в отсутствии магнетика. Предположим, что при наличии магнетика поле в пустом полупространстве стало $\,\vec{H}_1=a\vec{H}_0$, а в среде — $\,\vec{H}_2=b\vec{H}_0$. Поле $\,\vec{H}_0$ перпендикулярно плоскости контура и симметрично относительно~ него.

Из непрерывности нормальной составляющей вектора $\,\vec{B}_0$ следует, что $\,a=\mu b$, непрерывность тангенциальной составляющей обеспечивается автоматически $H_{1\tau}=H_{2\tau}$. Возьмем циркуляцию вектора $\,\vec{H}_0$ в отсутствии среды по некоторой силовой линии $$\oint(\vec{H}_0\, d\vec{\ell})=2\int\limits_{(1)} (\vec{H}_0\, d\vec{\ell})=\frac{4\pi J}{c}\,,$$ где $\;2\int\limits_{(1)}(\vec{H}_0\, d\vec{\ell})$ взят по половине симметричной кривой. С другой стороны, при наличии магнетика интеграл по той же самой кривой дает $$\frac{4\pi J}{c}=\int\limits_{(1)}(\vec{H}_1\, d\vec{\ell})+ \int\limits_{(2)}(\vec{H}_2\, d\vec{\ell})=$$ $$=\mu b\int\limits_{(1)}(\vec{H}_0\, d\vec{\ell})+ b\int\limits_{(2)}(\vec{H}_0\, d\vec{\ell})= b(\mu+1)\int\limits_{(1)}(\vec{H}_0\cdot d\vec{\ell})\,.$$ Сравнивая, получаем $$b=\frac{2}{\mu+1}\,, \qquad a=\frac{2\mu}{\mu+1},$$ значит, $$\vec{H}_1=\frac{2\mu}{\mu+1}\,\vec{H}_0\,, \qquad \vec{H}_2=\frac{2}{\mu+1}\,\vec{H}_0\,.$$

Поток вектора индукции через площадь контура в отсутствие магнетика равен $\;\Phi=\displaystyle\int(\vec{H}_0\cdot d\vec{s})$. При наличии магнетика $$\Phi=\int\frac{2\mu}{\mu+1}(\vec{H}_0\,d\vec{s})= \frac{2\mu}{\mu+1}\;\Phi_0\,,$$ а поскольку $\,\Phi=LJ/c$, то $$L=\frac{2\mu}{\mu+1}\,L_0.$$