Если задано распределение заряда в пространстве — $\rho\left(\vec{r}'\right)$, то можем найти и потенциал в произвольной точке пространства — $\vec{r}.$ Обратим внимание, что для точки в пространстве, где наблюдаем потенциал мы используем радиус вектор без штриха, а со штрихом — точки пространства, отвечающие за распределение заряда. Тогда потенциал: $$\varphi\left(\vec{r}\right)=\int\frac{\rho\left(\vec{r}'\right)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\,dV'.$$ Если заряд распределён дискретно, то интеграл перейдёт в сумму: $$\varphi\left(\vec{r}\right)=\sum_{i}\frac{q_{i}}{|\vec{r}-\vec{r}_{i}'|}.$$ В общем случае интеграл вычисляется далеко не всегда, но когда распределение заряда достаточно компактно и справедливо соотношение $|\vec{r}|\gg|\vec{r}'|$, то функцию $\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$ можно разложить в ряд Тейлора: $$\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}=\frac{1}{r\left(x-x',y-y',z-z'\right)}=\frac{1}{r\left(x_{1}-x_{1}',x_{2}-x_{2}',x_{3}-x_{3}'\right)}\approx$$ $$\frac{1}{r\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}+\sum_{i}\left(-x_{i}'\right)\frac{\partial}{\partial x_{i}}\frac{1}{r}+\sum_{ij}x_{i}'x_{j}'\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\frac{1}{r}+\cdots .$$

Используя нулевой член разложения $\frac{1}{r\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}$ в интеграле или сумме $$\varphi\left(\vec{r}\right)=\int\frac{\rho\left(\vec{r}'\right)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\,dV'\approx\int\frac{\rho\left(\vec{r}'\right)}{r}\,dV'=\frac{1}{r}\int\rho\left(\vec{r}'\right)\,dV'=\frac{Q}{r}$$ получим вклад от точечного заряда $Q$ расположенном в начале координат $\vec{r}'=0.$

Используя первый член разложения $$\sum_{i}\left(-x_{i}'\right)\frac{\partial}{\partial x_{i}}\frac{1}{r}=\left(-\vec{r}'\cdot\nabla\frac{1}{r}\right)=\frac{\left(\vec{r}'\cdot\vec{r}\right)}{r^{3}}$$ получим дипольное приближение $$\varphi\left(\vec{r}\right)=\frac{\left(\vec{p}\cdot\vec{r}\right)}{r^{3}}$$ с дипольным моментом $$\vec{p}=\int\vec{r}'\rho\left(\vec{r}'\right)\,dV'.$$ Дипольный член разложения становится определяющим если суммарный заряд системы равен нулю. В этом случае, как мы выясним в задаче 1.32, вычисление дипольного момента не зависит от выбора точки отсчёта.