Уравнения Максвела в однородной среде с диэлектрической проницаемостью в дифференциальной форме имеют вид: \begin{equation} \text{div} \vec{D}=4\pi\rho_{\text{своб}} \,,\,\, \text{rot} \vec{E}=0, \end{equation} где $\vec{D}=\vec{E}+4\pi \vec{P}=\varepsilon \vec{E}\,.$ Вектор поляризации $\vec{P}$ — дипольный момент единицы объема, $$\vec{P}=\frac{\varepsilon-1}{4\pi}\vec{E}.$$

Интегральная форма уравнений Максвелла:

\begin{equation} \iint \limits_S D_n dS=4\pi q_\text{своб}\,,\,\,\oint E_\ell\,d\ell=0\,, \end{equation} где \(q_\text{своб}\) — свободный заряд в объеме интегрирования, откуда получаются граничные условия:

\begin{equation} D_{2n}|-D_{1n}|=4\pi\sigma_\text{своб}\,, \mbox{или}\,\,\varepsilon_2 E_{2n}|-\varepsilon_1 E_{1n}|=4\pi \sigma_\text{своб}\,\,, E_{1\tau}|=E_{2\tau}|\,. \end{equation}

Поле точечного заряда (закон Кулона) в среде \begin{equation} \label{ch1/s3/eq3} \vec{E}(\vec{r})= \frac{q}{\varepsilon r^2}\,\frac{\vec{r}}{r} \,. \end{equation}

Потенциал точечного заряда \begin{equation} \varphi_{{точ}}=-\int (\vec E \cdot d \vec \ell) =\frac{q}{\varepsilon r}+C\,. \end{equation}

Часто константу $C$ выбирают равной $0$.

Энергия для совокупности зарядов

\begin{eqnarray} W& = & \frac{1}{2}\sum \limits_{i\neq k} q_i \varphi_k =\frac{1}{2}\left ( \int{\rho \varphi\, dV} + \int{\sigma \varphi\, dS} +\int{\varkappa \varphi\, d\ell}\right)=\nonumber \\ &&\\ & =& \frac{1}{8\pi}\int{\varepsilon E^2 dV}\nonumber. \end{eqnarray}