2. Ветер действует на парус площадью $S$ с силой $F = AS\rho (v_0 – v)^2,$ где $А$ — некоторая постоянная; $\rho $ — плотность воздуха; $v_0$ — скорость ветра; $v$ — скорость лодки. Определите скорость лодки при максимальной мгновенной мощности ветра.

Мощность передаваемая ветром: $P=Fv,$ где $v$ — скорость лодки, тогда

$$P=Fv=AS\rho(v_{0}-v)^{2}v=AS\rho\left(v_{0}^{2}v-2v^{2}v_{0}+v^{3}\right).$$

Для нахождения максимума $P_{\text{max}}$, найдём производную $\frac{dP}{dv}=0:$

$$\frac{dP}{dv}=AS\rho\left(v_{0}^{2}-4vv_{0}+3v^{2}\right)=0,$$

решим квадратное уравнение $$v_{0}^{2}-4vv_{0}+3v^{2}=0$$ решение: $$v_{1;2}=\frac{4v_{0}\pm\sqrt{4^{2}v_{0}^{2}-4v_{0}^{2}\cdot3}}{6}=\frac{2v_{0}}{6}\left(2\pm1\right).$$

При $v_{1}=v$ сила $F=0$, значит мощность минимальна, тогда максимум будет при $v_{2}=\frac{1}{3}v_{0}$.