4. Частица массой $m$ налетает на покоящуюся частицу со скоростью $v_1$ и после абсолютно упругого удара отлетает со скоростью $v_2$ перпендикулярно к направлению своего первоначального движения. Найти массу частицы $M.$

Ключевой момент в решении этой задачи — абсолютно упругий удар — это такая модель соударения, при которой полная кинетическая энергия системы до и после соударения не меняется. Таким образом используем как закон сохранения энергии, так и закон сохранения импульса. Распишем по проекциям:

$$\left\{ \begin{array}{l} mv_{1}^{2}=M\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)+mv_{2}^{2}\\ mv_{1}=Mv_{x}\\ 0=Mv_{y}+mv_{2} \end{array}\right.$$

Подставля в первое уравнение скорости из двух остальных уравнений:

$$mv_{1}^{2}=M\left(\left(\frac{mv_{1}}{M}\right)^{2}+\left(-\frac{mv_{2}}{M}\right)^{2}\right)+mv_{2}^{2},$$

$$mv_{1}^{2}=\frac{1}{M}\left(m^{2}v_{1}^{2}+m^{2}v_{2}^{2}\right)+mv_{2}^{2}$$

тогда

$$M=m\frac{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}.$$