7. При центральном упругом ударе движущееся тело массой $m_1,$ ударяется в покоящееся тело массой $m_2,$ в результате чего скорость первого тела уменьшается в $2$ раза Определите:

1) во сколько раз масса первого тела больше массы второго тела;

2) кинетическую энергию $E_2$ второго тела непосредственно после удара, если первоначальная кинетическая энергия первого тела равна $E_0=800$ Дж.

Будем считать, что у нас происходит абсолютно упругий удар, при котором полная кинетическая энергия системы до и после соударения не меняется, тогда выполнены закон сохранения импульса

$$m_{1}v_{1}=m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$$

и закон сохранения энергии

$$\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}=\frac{1}{2}\left(m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}\right).$$

Найдём отношение масс $\frac{m_1}{m_{2}}=n$ при условии $u_{1}=\frac{1}{2}v_{1}$. Тогда из первого уравнения:

$nv_{1}=2u_{2},$ а из второго $\frac{3}{4}nv_{1}^{2}=u_{2}^{2}$, следовательно $$\frac{3}{4}nv_{1}^{2}=\frac{1}{4}n^{2}$$ и окончательно $n=3.$

Кинетическая энергия второго тела: $$E_{2}=E_{0}-E_{1}=E_{0}-\frac{1}{4}E_{0}=\frac{3}{4}E_{0}.$$