9. Два шара массами $m_1 =9$ кг и $m_2=12$ кг подвешены на нитяx длиной $\ell = 1,5$ м. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар отклонили на угол $\alpha = 30^\circ$ и отпустили. Считая удар неупругим, определите высоту $h,$ на которую поднимутся оба шара после удара.

Первоначально система обладала потенциальной энергией:

$$W=m_{1}gH=m_{1}g\ell\left(1-\cos\alpha\right).$$

Затем, вся потенциальная энергия первого шара перешла в кинетическую

$$\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}=m_{1}g\ell\left(1-\cos\alpha\right),$$

а после неупругого удара сохранился только импульс:

$$p=m_{1}v_{1}=\left(m_{1}+m_{2}\right)v_{2}$$

часть энергии при неупругом ударе перешла в тепло, а часть в кинетическую энергию слипшихся шаров:

$$W=\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)v_{2}^{2}=\frac{p^{2}}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)}=$$ $$\frac{\left(m_{1}v_{1}\right)^{2}}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)}=\frac{m_{1}^{2}g\ell\left(1-\cos\alpha\right)}{\left(m_{1}+m_{2}\right)},$$

которая, в свою очередь, перешла в потенциальную энергию для слипшихся шаров, поднявшихся на высоту $h$:

$$\frac{m_{1}^{2}g\ell\left(1-\cos\alpha\right)}{\left(m_{1}+m_{2}\right)}=\left(m_{1}+m_{2}\right)gh .$$

И окончательно:

$$h=\ell\frac{m_{1}^{2}\left(1-\cos\alpha\right)}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}}.$$