При падении камня в колодец его удар о поверхность воды доносится через $t = 5$ с. Принимая скорость звука $v = 330$ м/с, определите глубину колодца.

Время $t=t_1+t_2$ разбивается на две части: $t_1$ — время падения камня до дна колодца и $t_2$ — время с когда звук пройдёт от дна колодца до поверхности.

Пусть глубина колодца $h$, тогда $$ h=\frac{gt_1^2}{2}=vt_2=v(t-t_1). $$ Получили уравнение на $t_1$: $$ gt_1^2+2vt_1-2vt=0. $$ Его решение: $$ t_1=\frac{-v\pm\sqrt{v^2+2gvt}}{g}. $$ Не смотря на то, что у нас имеется 2 решения, выбираем только физическое решение — с положительным временем, тогда глубина колодца: $$ h=\frac{1}{2g}\left(\sqrt{v^2+2gvt} - v\right)^2. $$