1.6. Две плоские монохроматические линейно поляризованные волны одной частоты распространяются вдоль оси $Z.$ Одна с амплитудой $a$ поляризована по оси $X,$ а другая с амплитудой $b$ — по оси $Y,$ причем опережает первую по фазе на $\chi .$ Какова поляризация результирующей волны? Рассмотреть случай равных амплитуд.

Решение: Запишем итоговый вектор:

$$\vec{E}=a\vec{e_{x}}\cos\left(\omega t-kz\right)+b\vec{e_{y}}\cos\left(\omega t-kz+\chi\right).$$

Сдвинем начало отсчета фаз так, чтобы в 2-х взаимно перпендикулярных направлениях получились колебания, сдвинутые по фазе на $\frac{\pi}{2}$ и в этих сдвинутых координатах поляризация будет эллиптической, а амплитуда будет в пределах от минимума $E_{min}$ до максимума — $E_{max}.$ Найдём сначала сдвиг фаз $\varphi$, а затем и $E_{min}$, $E_{max}:$ $$E^{2}=a^{2}\cos^{2}\left(\omega t-kz\right)+b^{2}\cos^{2}\left(\omega t-kz+\chi\right)=a^{2}\cos^{2}\left(\varphi\right)+b^{2}\cos^{2}\left(\varphi+\chi\right).$$

Возьмём производную и приравняем нулю:

$$0=\frac{\partial}{\partial\varphi}E^{2}=\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(a^{2}\cos^{2}\left(\varphi\right)+b^{2}\cos^{2}\left(\varphi+\chi\right)\right)= $$ $$-2\left(a^{2}\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\varphi\right)+b^{2}\cos\left(\varphi+\chi\right)\sin\left(\varphi+\chi\right)\right).$$

Решим уравнение, переписав относительно первого слагаемого:

$$a^{2}\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\varphi\right)=-b^{2}\cos\left(\varphi+\chi\right)\sin\left(\varphi+\chi\right)=$$ $$-b^{2}\left(\cos\left(\varphi\right)\cos\left(\chi\right)-\sin\left(\varphi\right)\sin\left(\chi\right)\right)\left(\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\chi\right)+\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\chi\right)\right)=$$ $$-b^{2}(\cos^{2}\left(\varphi\right)\cos\left(\chi\right)\sin\left(\chi\right)-\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\varphi\right)\sin^{2}\left(\chi\right)+$$ $$\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\varphi\right)\cos^{2}\left(\chi\right)-\sin^{2}\left(\varphi\right)\sin\left(\chi\right)\cos\left(\chi\right))=$$ $$-b^{2}(\cos^{2}\left(\varphi\right)\cos\left(\chi\right)\sin\left(\chi\right)-\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\varphi\right)\sin^{2}\left(\chi\right)+ $$ $$\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\varphi\right)\cos^{2}\left(\chi\right)-\sin^{2}\left(\varphi\right)\sin\left(\chi\right)\cos\left(\chi\right)).$$

Приведём подобные члены и соберём двойные углы

$$a^{2}\sin\left(2\varphi\right)+b^{2}\left(\cos\left(2\varphi\right)\sin\left(2\chi\right)+\sin\left(2\varphi\right)\cos\left(2\chi\right)\right)=0,$$ далее поделив всё на $\cos\left(2\varphi\right)$ получим $$a^{2}\text{tg}\left(2\varphi\right)+b^{2}\left(\sin\left(2\chi\right)+\text{tg}\left(2\varphi\right)\cos\left(2\chi\right)\right)=0,$$ в итоге получим, что $$\text{tg}\left(2\varphi\right)=-\frac{b^{2}\sin\left(2\chi\right)}{a^{2}+b^{2}\cos\left(2\chi\right)}.$$

Найдём сдвиг $\varphi$ вторым способом, через комплексные амплитуды исходных волн: $$E_{1}=ae_{x},\ E_{2}=be^{i\chi}e_{y},$$ тогда $E_{0}=ae_{x}+be^{i\chi}e_{y}.$

Сдвинем начало отсчета фаз так, чтобы в 2-х взаимно перпендикулярных направлениях получились колебания, сдвинутые по фазе на $\frac{\pi}{2}$ $$E=E_{0}e^{-i\varphi}=E_{3}-iE_{4}$$ и потребуем, чтобы векторы $E_{3}$ и $E_{4}$ были вещественными и ортогональными. Тогда $$\boldsymbol{E}=\left(a\boldsymbol{e}_{x}+be^{i\chi}\boldsymbol{e}_{y}\right)e^{-i\varphi}=ae^{-i\varphi}\boldsymbol{e}_{x}+be^{i(\chi-\varphi)}\boldsymbol{e}_{y}=E_{3}-iE_{4},$$

Взяв мнимую и вещественные части $$\boldsymbol{E}_{3}=a\cos\varphi\cdot\boldsymbol{e}_{x}+b\cos(\varphi+\chi)\cdot\boldsymbol{e}_{y};\ \ \boldsymbol{E}_{4}=a\sin\varphi\cdot\boldsymbol{e}_{x}+b\sin(\varphi+\chi)\cdot\boldsymbol{e}_{y}.$$

Воспользуемся теперь ортогональностью $(\boldsymbol{E}_{3}\cdot\boldsymbol{E}_{4})=0.$ Раскрывая скалярное произведение, получим $$a^{2}\cos\varphi\sin\varphi+b^{2}\cos(\varphi+\chi)\sin(\varphi+\chi)=0,$$ т.е. получили тоже самое уравнение, значит придём и к тому же решению: $$\text{tg}\left(2\varphi\right)=-\frac{b^{2}\sin\left(2\chi\right)}{a^{2}+b^{2}\cos\left(2\chi\right)}.$$

Из полученного выражения следует, что в новой системе координат конец вектора электрического поля описывает в новой системе координат эллипс с максимумом $$E_{max}=E_{3}=\sqrt{a^{2}\cos^{2}\left(\varphi\right)+b^{2}\cos^{2}\left(\varphi+\chi\right)}$$ и минимумом: $$E_{min}=E_{4}=\sqrt{a^{2}\sin^{2}\left(\varphi\right)+b^{2}\sin^{2}\left(\varphi+\chi\right)}.$$