Если $$k^{\mu}=\left(\frac{\omega}{c},k_{x},k_{y},k_{z}\right)=\left(\frac{\omega}{c},-k,0,0\right)$$ — волновой четырёхвектор в лабораторной СО, тогда

$$\left(\begin{array}{c} \frac{\omega'}{c}\\ -k'\\ 0\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & -\frac{v}{c}\gamma & 0 & 0\\ -\frac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{\omega}{c}\\ -k\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$

Найдём падающую волну в движущейся СО: $$\frac{\omega'}{c}=\gamma\frac{\omega_{0}}{c}+\frac{v}{c}\gamma k$$ — итоговый знак «плюс» — из–за разнонаправленности скорости $\vec{v}$ и распространения света, т.е. $\vec{k}.$ Итак, $$\frac{\omega'}{c}=\gamma\frac{\omega_{0}}{c}\left(1+\frac{v}{c}\right).$$ После отражения $\vec{k}'$ будет уже иметь то же направление, что и скорость $\vec{v}$. Теперь произведём обратный переход: $$\left(\begin{array}{c} \frac{\omega}{c}\\ k\\ 0\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & \frac{v}{c}\gamma & 0 & 0\\ \frac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{\omega'}{c}\\ k'\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$

$$\frac{\omega}{c}=\gamma\frac{\omega'}{c}+\frac{v}{c}\gamma k'=\gamma\frac{\omega'}{c}\left(1+\frac{v}{c}\right)=\gamma^{2}\frac{\omega_{0}}{c}\left(1+\frac{v}{c}\right)^{2}=$$ $$\frac{\omega_{0}}{c}\frac{\left(1+\frac{v}{c}\right)^{2}}{\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1-\frac{v}{c}\right)}=\frac{\omega_{0}}{c}\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}$$ т.е. $$\omega=\omega_{0}\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}.$$

$$\left(\begin{array}{c} \frac{\omega'}{c}\\ k'\cos\theta'\\ k'\sin\theta'\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & -\frac{v}{c}\gamma & 0 & 0\\ -\frac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{\omega_{0}}{c}\\ k_{0}\cos\theta_{0}\\ k_{0}\sin\theta_{0}\\ 0 \end{array}\right)$$ $$\frac{\omega'}{c}=\gamma\frac{\omega_{0}}{c}-\frac{v}{c}\gamma k_{0}\cos\theta_{0}=\gamma\frac{\omega_{0}}{c}\left(1-\frac{v}{c}\cos\theta_{0}\right),$$

$$k'\cos\theta'=-\frac{v}{c}\gamma\frac{\omega_{0}}{c}+\gamma k_{0}\cos\theta_{0}=\gamma\frac{\omega_{0}}{c}\left(-\frac{v}{c}+\cos\theta_{0}\right).$$ Следовательно $$\cos\theta'=\frac{-\frac{v}{c}+\cos\theta_{0}}{1-\frac{v}{c}\cos\theta_{0}}.$$ Произведём теперь обратное преобразование, но с учётом, что теперь $\vec{k}'$ и $\vec{v}$ имеют разные знаки: $$\left(\begin{array}{c} \frac{\omega}{c}\\ -k\cos\theta\\ k\sin\theta\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & \frac{v}{c}\gamma & 0 & 0\\ \frac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{\omega'}{c}\\ -k'\cos\theta'\\ k'\sin\theta'\\ 0 \end{array}\right).$$ $$\frac{\omega}{c}=\gamma\frac{\omega'}{c}-\frac{v}{c}\gamma k'\cos\theta'=\gamma\frac{\omega'}{c}\left(1-\frac{v}{c}\cos\theta'\right)$$ $$-k\cos\theta=\frac{v}{c}\gamma\frac{\omega'}{c}-\gamma k'\cos\theta'=\gamma\frac{\omega'}{c}\left(\frac{v}{c}-\cos\theta'\right)$$ Поделив второе на первое найдём угол $$\cos\theta=-\frac{\frac{v}{c}-\cos\theta'}{1-\frac{v}{c}\cos\theta'}=-\frac{\frac{v}{c}-\frac{-\frac{v}{c}+\cos\theta_{0}}{1-\frac{v}{c}\cos\theta_{0}}}{1-\frac{v}{c}\frac{-\frac{v}{c}+\cos\theta_{0}}{1-\frac{v}{c}\cos\theta_{0}}}\Rightarrow$$ $$\cos\theta=\frac{\left(1+\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\cos\theta_{0}-2\frac{v}{c}}{1+\frac{v^{2}}{c^{2}}-2\frac{v}{c}\cos\theta_{0}}.$$