2. Некоторый газ массой $1$ кг находится при температуре ${Т}=300$ К и под давлением $P_{1}=0,5$ МПа В результате изотермического сжатия давление газа увеличилось в два раза Работа, затраченная на сжатие, ${А}=432$ кДж. Определите: 1) какой это газ; 2) первоначальный удельный объем газа.

Дифференциальная работа по сжатию газа $dA=p\,dV.$ Из состояния идеального газа $pV=\frac{m}{\mu}RT$ найдём давление, тогда при изотермическом сжатии: $$A=\int dA=\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{m}{\mu}\frac{RT}{V}\,dV=\frac{m}{\mu}RT\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}.$$ При изотерме $$p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2},$$ следовательно, $$A=\frac{m}{\mu}RT\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{m}{\mu}RT\ln\frac{p_{1}}{p_{2}}.$$ Теперь, что бы узнать какой газ, можем выразить молярную массу $$\mu=\frac{m}{A}RT\ln\frac{p_{1}}{p_{2}}.$$ Удельный объём: $$v_{1}=\frac{V_{1}}{m}=\frac{RT}{p_{1}\mu}.$$ Подставив значения

$$\mu\approx\frac{1\text{кг}}{-432\text{кДж}}8,3\frac{\text{Дж}}{\text{моль }\cdot\text{К}}\cdot300\text{К}\cdot\ln\frac{1}{2}\approx4\frac{\text{г}}{\text{моль}}$$ что соответствует гелию,

$$v_{1}=\frac{RT}{p_{1}\mu}\approx1,25\,\frac{\text{м}^{3}}{\text{кг}}.$$