Оцените температуру на поверхности Солнца, зная угловой размер Солнца — $\alpha = 32'$ и среднюю температуру на Земле — $10$°С, считая Землю абсолютно чёрным телом. Вычислите на какую длину волны приходится максимум солнечного излучения. Какой это цвет?

Обозначим радиус Солнца $R_C,$ а расстояние до Солнца за $L.$ Полная мощность излучения Солнца (всей его поверхностью) по закону Стефана– Больцмана равна: $$ I_C=\sigma T_C^4\cdot 4\pi R_C^2 . $$ Эта мощность излучается изотропно в полный телесный угол $4\pi $. На Землю приходится лишь её часть, которую можно найти, вычислив отношение телесного угла $\Omega $, под которым видна наша планета с Солнца $$ \Omega =\frac{\pi R_{\text{з}}^2}{L^2}. $$ к полному телесному углу — $4\pi $.

Таким образом, на Землю поступает мощность: $$ I_{\text{з}}=I_C\frac{\Omega}{4\pi}= \sigma T_C^4 4\pi R_C^2 \cdot \frac{\pi R_{\text{з}}^2}{L^2}\frac{1}{4\pi} = \sigma T_C^4 R_C^2 \cdot \frac{\pi R_{\text{з}}^2}{L^2} . $$ В то же время чтобы быть в термодинамическом равновесии, Земля излучает ровно столько же, сколько поглощает. По закону Стефана–Больцмана: $$ I_{\text{з}}=\sigma T_{\text{з}}^4\cdot 4\pi R_{\text{з}}^2 . $$ Приравнивая и сокращая, получим: $$ T_{\text{з}}^4\cdot 4 = T_C^4 R_C^2 \cdot \frac{1}{L^2}, $$ тогда $$ T_C=T_{\text{з}}\sqrt{\frac{2L}{R_C}} =T_{\text{з}}\sqrt{\frac{4}{\alpha }}. $$

Угол $$ \alpha = \frac{L}{2R_C}=32'=\left(\frac{32}{60}\right)^{\circ } =\frac{\pi}{180^{\circ }}\left(\frac{32}{60}\right)^{\circ }\approx 0,0093 \text{ рад}. $$ Окончательно получим: $$ T_C=T_{\text{з}}\sqrt{\frac{4}{\alpha }}=283 \sqrt{\frac{4}{0,0093 }}\approx 6000 \ K. $$

Согласно закону Вина максимум излучения Солнца приходится на длину волны: $$\lambda _{max}\approx \frac{0,0029}{T} \approx 5\cdot 10^{-7} \text{ м}= 500 \text{ нм}.$$