Модель Бора основана на двух предположениях:

• электрон движется по круговой орбите под действием кулоновской силы;
• момент импульса квантуется: $m_e v r = n\hbar$.

—

Кулоновская сила обеспечивает центростремительное ускорение: $$ \frac{m_e v^2}{r} = \frac{e^2}{r^2} $$

Отсюда: $$ m_e v^2 = \frac{e^2}{r} $$

Из условия квантования: $$ m_e v r = n\hbar \Rightarrow v = \frac{n\hbar}{m_e r} $$

Подставляем в первое уравнение: $$ m_e \frac{n^2 \hbar^2}{m_e^2 r^2} = \frac{e^2}{r} $$

$$ \frac{n^2 \hbar^2}{m_e r^2} = \frac{e^2}{r} $$

Отсюда радиус орбиты: $$ r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e e^2} $$

Для основного состояния ($n=1$): $$ a_0 = \frac{\hbar^2}{m_e e^2} \approx 5.29 \cdot 10^{-11},\text{м} $$

Размер атома: $r \sim a_0$

Классический радиус электрона определяется из равенства энергии поля и покоя: $$ \frac{e^2}{r_e} \sim m_e c^2 \Rightarrow r_e = \frac{e^2}{m_e c^2} $$

$$ r_e \approx 2.8 \cdot 10^{-15},\text{м} $$

—

Экспериментально: $$ R = r_0 A^{1/3}, \quad r_0 \approx 1.2 \cdot 10^{-15},\text{м} $$

Объём ядра: $$ V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi r_0^3 A $$

Масса: $$ M \approx A m_N $$

Плотность: $$ \rho = \frac{M}{V} = \frac{A m_N}{\frac{4}{3}\pi r_0^3 A} $$

Сокращаем $A$: $$ \rho = \frac{m_N}{\frac{4}{3}\pi r_0^3} $$

$$ \rho \approx 2 \cdot 10^{17},\text{кг/м}^3 $$

—

Полная энергия: $$ E = \frac{m_e v^2}{2} - \frac{e^2}{r} $$

Из ранее полученного: $$ m_e v^2 = \frac{e^2}{r} $$

Тогда: $$ E = \frac{e^2}{2r} - \frac{e^2}{r} = -\frac{e^2}{2r} $$

Подставляем радиус: $$ r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e e^2} $$

$$ E_n = -\frac{e^2}{2} \cdot \frac{m_e e^2}{n^2 \hbar^2} $$

$$ E_n = -\frac{m_e e^4}{2\hbar^2 n^2} $$

С учётом заряда ядра $Z$: $$ E_n = -\frac{m_e e^4 Z^2}{2\hbar^2 n^2} $$

Численно: $$ E_n = -\frac{13.6 Z^2}{n^2},\text{эВ} $$

—

Ионизация — переход с $E_1$ на $E=0$: $$ I = |E_1| = 13.6,\text{эВ} $$

Так как $1,\text{эВ} = e \cdot 1,\text{В}$: $$ U_i = 13.6,\text{В} $$

—

Электрон излучает по формуле Лармора: $$ P = \frac{2e^2 a^2}{3c^3} $$

Ускорение: $$ a = \frac{v^2}{r} $$

Энергия орбиты: $$ E \sim -\frac{e^2}{2r} $$

Оценка времени: $$ t \sim \frac{E}{P} \sim 10^{-11},\text{с} $$

Это показывает нестабильность классического атома.

—

Первая энергия дана: $$ I_1 = 24.6,\text{эВ} $$

После удаления одного электрона: получаем $\text{He}^+$ — водородоподобный атом с $Z=2$.

Энергия: $$ E_1 = -13.6 Z^2 = -54.4,\text{эВ} $$

Значит: $$ I_2 = 54.4,\text{эВ} $$

Полная энергия: $$ I = I_1 + I_2 = 79,\text{эВ} $$

—

Закон распада: $$ N(t) = N_0 e^{-t/\tau} $$

Вероятность того, что атом НЕ распался: $$ P(t) = e^{-t/\tau} $$

Вероятность распада в интервале $[t_1, t_2]$: $$ W = P(t_1) - P(t_2) $$

Для пятого дня: $$ W = e^{-4/10} - e^{-5/10} $$

$$ W \approx 0.064 $$

—

Потенциальная энергия взаимодействия: $$ U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Z_1 Z_2 e^2}{R} $$

Для $\alpha$-частицы: $$ Z_1 = 2,\quad Z_2 = 90 $$

Используем: $$ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} = 1.44,\text{МэВ}\cdot\text{фм} $$

Радиус: $$ R = r_0 A^{1/3} \approx 7.4,\text{фм} $$

Тогда: $$ U \approx \frac{1.44 \cdot 180}{7.4} \approx 35,\text{МэВ} $$

—

• $r_{\text{ат}} \sim 10^{-10},\text{м}$
• $r_e \sim 10^{-15},\text{м}$
• $\rho \sim 2 \cdot 10^{17},\text{кг/м}^3$
• $E_n = -\frac{13.6 Z^2}{n^2},\text{эВ}$
• $U_i = 13.6,\text{В}$
• $t \sim 10^{-11},\text{с}$
• $I_{\text{He}} = 79,\text{эВ}$
• $W \approx 6.4%$
• $U_C \approx 35,\text{МэВ}$

—