1.48. Найти поле между двумя коаксиальными цилиндрами радиусов $r_1$ и $r_2$, разность потенциалов между которыми равна $U$.
Так как между обкладками отсутствует заряд, то потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: \[ \frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}}} \right) = 0. \] Проинтегрируем его один раз: \[ r\frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}} = A, \] тогда: \[ \frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}} = \frac{A}{r}. \] Проинтегрируем его второй раз: \[ \varphi = A\ln r + B \]
Константу $A$ можно узнать из имеющейся разности потенциалов между обкладками: \[ \varphi _2 - \varphi _1 = A\ln r_2 - A\ln r_1 = U, \] следовательно: \[ A = \frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}. \] Тогда потенциал: \[ \varphi =\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}\ln r + B, \] а поле найдём взяв градиент потенциала:
\[ E_r = -\frac{\partial \varphi }{\partial r} = - \frac{1}{r}\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}. \]
Или в векторном виде:
\[ \vec E =-\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}} \frac{\vec r}{r^2}. \]