2.13. Исследовать «расплывание» одномерного волнового пакета с гауссовской амплитудной кривой $a(k)=a_{0}\exp\left(-\alpha\left(k-k_{0}\right)^{2}\right),$ учитывая и квадратичные члены в дисперсии.

Рассмотрим дисперсию — зависимость частоты от волнового вектора, разлагая в ряд:

$$\omega\left(k\right)\approx\omega_{0}+\left.\frac{\partial\omega}{\partial k}\right|_{k=k_{0}}\left(k-k_{0}\right)+\frac{1}{2}\left.\frac{\partial^{2}\omega}{\partial k^{2}}\right|_{k=k_{0}}\left(k-k_{0}\right)^{2}=\omega_{0}+u\Delta k+\beta\Delta k^{2}.$$

Волновой пакет выразится интегралом

$$ E\left(z,t\right)=\intop_{-\infty}^{\infty}a(k)e^{i\left(kz-\omega t\right)}\,dk=a_{0}\intop_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\alpha\left(k-k_{0}\right)^{2}+i\left(kz-\omega t\right)\right)\,dk= $$ $$ a_{0}\intop_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\alpha\Delta k^{2}+ikz-i\left(\omega_{0}+u\Delta k+\beta\Delta k^{2}\right)t\right)\,dk. $$

Как и в задаче 2.10 сделаем замену переменных переходя к полному квадрату: $$ \alpha\Delta k^{2}-ikz+i\left(\omega_{0}+u\Delta k+\beta\Delta k^{2}\right)t= $$ $$\left(\alpha+i\beta t\right)\Delta k^{2}+i\left(ut-z\right)\Delta k-ik_{0}z+i\omega_{0}t= $$ $$ \gamma^{2}\Delta k^{2}+i\delta\Delta k-ik_{0}z+i\omega_{0}t=\left(\gamma\Delta k+i\frac{\delta}{2\gamma}\right)^{2}+\left(\frac{\delta}{2\gamma}\right)^{2}-ik_{0}z+i\omega_{0}t= $$ $$ \lambda^{2}+\left(\frac{\delta}{2\gamma}\right)^{2}-ik_{0}z+i\omega_{0}t, $$ тогда, с учётом $dk=\frac{1}{\gamma}\,d\lambda$ перепишем интеграл $$ E\left(z,t\right)=\frac{a_{0}}{\gamma}\exp\left(-\left(\frac{\delta}{2\gamma}\right)^{2}+ik_{0}z-i\omega_{0}t\right)\,\intop_{-\infty}^{\infty}e^{-\lambda^{2}}\,d\lambda $$ тогда $$ E\left(z,t\right)=a_{0}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha+i\beta t}}\exp\left(-\left(\frac{ut-z}{2\left(\alpha+i\beta t\right)}\right)^{2}+i\left(k_{0}z-\omega_{0}t\right)\right) .$$

Таким образом можно представить, что пакет с одной стороны имеет фазовую скорость $v=\frac{\omega_{0}}{k_{0}}$, за это отвечает множитель $e^{i\left(k_{0}z-\omega_{0}t\right)}$ и, при этом, у волны имеется комплексная амплитуда $$ a_{0}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha+i\beta t}}\exp\left(-\left(\frac{ut-z}{2\left(\alpha+i\beta t\right)}\right)^{2}\right) .$$ Модуль амплитуды: $$ |E\left(z,t\right)|=a_{0}\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt[4]{\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}}}\exp\left(-\frac{\left(ut-z\right)^{2}}{2\left(\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}\right)}\right) $$ передвигается уже с групповой скоростью $u$, так как экспонента в модуле имеет максимум при $ut-z=0.$

В итоге мы видим, что амплитуда максимума падает со временем как $$a_{0}\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt[4]{\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}}},$$ а полуширина кривой Гаусса увеличивается как $$\sqrt{2\left(\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}\right)}$$ — происходит размывание пакета.