2.10. Найти волновой пакет для момента времени $t = 0,$ если его амплитудная функция имеет гауссовский вид $a(k)=a_{0}\exp\left(-\left(\frac{k-k_{0}}{\Delta k}\right)^{2}\right).$

Волновой пакет — это результирующее поле, полученное путем суммирования гармонических волн с непрерывно меняющимся волновым вектором $k$. В нашем случае закон изменения $k$ дается гауссовским распределением, и при $t = 0$ сумма переходит в интеграл:

$$ E\left(z,0\right)=\intop_{-\infty}^{\infty}a(k)e^{ikz}\,dk=a_{0}\intop_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\left(\frac{k-k_{0}}{\Delta k}\right)^{2}+ikz\right)\,dk . $$ Сделаем замену переменных переходя к полному квадрату: $$\left(\frac{k-k_{0}}{\Delta k}\right)^{2}-ikz=\left(\frac{k'}{\Delta k}\right)^{2}-ik'z-ik_{0}z=\left(\frac{k'}{\Delta k}\right)^{2}-i\frac{2}{\Delta k}k'z\frac{\Delta k}{2}-ik_{0}z=$$ $$\left(\frac{k'}{\Delta k}-iz\frac{\Delta k}{2}\right)^{2}-\left(iz\frac{\Delta k}{2}\right)^{2}-ik_{0}z=u^{2}+\left(z\frac{\Delta k}{2}\right)^{2}-ik_{0}z,$$ тогда, с учётом $dk=\Delta k\,du$ перепишем интеграл $$ E\left(z,0\right)=a_{0}\Delta k\exp\left(-\left(z\frac{\Delta k}{2}\right)^{2}+ik_{0}z\right)\,\intop_{-\infty}^{\infty}e^{-u^{2}}\,du, $$ тогда $$ E\left(z,0\right)=a_{0}\Delta k\sqrt{\pi}\exp\left(-\left(z\frac{\Delta k}{2}\right)^{2}+ik_{0}z\right) . $$