6.14. Внутрь соленоида, имеющего $N$ витков, длину $\ell$ и площадь сечения $S_1$, вставлен коаксиально второй соленоид с тем же направлением намотки и той же длины $\ell$, но иным числом витков $N_2$ и площадью сечения $S_2$ $(\ell\gg \sqrt{S_1},\sqrt{S_2})$, края соленоидов совпадают. Обмотки соединены последовательно так, что токи в обоих соленоидах текут в одинаковых направлениях. Найти индуктивность системы: а) через энергию; б) через потокосцепление.

Если по соленоидам пропустить ток $\,J$, то распределение напряженности магнитного поля будет иметь вид $$H_1=\frac{4\pi J}{c}\frac{N_1}{\ell} \qquad\mbox{при}\qquad R_2\leq R\leq R_1\,,$$ $$H_2=\frac{4\pi J}{c}\frac{N_1}{\ell}+ \frac{4\pi J}{c}\frac{N_2}{\ell}= \frac{4\pi J}{c}\frac{(N_1+N_2)}{\ell} \qquad\mbox{при}\qquad R< R_2\,,$$ $$H_3=0 \qquad\mbox{при}\qquad R> R_1\,.$$

а) Найдем магнитную энергию, запасенную в системе: \begin{equation} \begin{split} W=\frac{1}{8\pi}\int H^2\,dv&=\frac{1}{8\pi} \bigg(\frac{4\pi J}{c\,\ell}\bigg)^2 \bigg[(N_1+N_2)^2S_2\ell+N^2_1(S_1-S_2)\ell\bigg]=\\ &=\frac{2\pi J^2}{c^2\ell}(N_1^2S_1+N_2^2S_2+2N_1N_2S_2). \end{split} \end{equation} С другой стороны, $W=LJ^2/2c^2$, где $L$ – индуктивность системы.

Сравнивая, находим \begin{equation} L=\frac{4\pi }{\ell}(N_1^2S_1+N_2^2S_2+2N_1N_2S_2)\,. \end{equation}

б) Учитывая потокосцепления для внутреннего соленоида, имеем $$\Phi_2=\frac{4\pi J}{c\,\ell}(N_1+N_2)N_2S_2\,.$$

С учетом потокосцепления для внешнего соленоида получаем $$\Phi_1=\frac{4\pi J}{c\,\ell}(N_1+N_2)N_1S_2+ \frac{4\pi J}{c\,\ell}(S_1-S_2)N^2_1= \frac{4\pi J}{c\,\ell}(N_1N_2S_2+N_1^2S_1)\,.$$ Для всей системы $$\Phi=\Phi_1+\Phi_2=\frac{4\pi J}{c\,\ell} (N_1^2S_1+N_2^2S_2+2N_1N_2S_2).$$ Сравнивая с $\,\Phi=LJ/c$, находим для индуктивности прежний результат.