1.29. Найти силу, действующую на диполь в слабонеоднородном электрическом поле. А если диполь квазиупругий (т.е. $\vec p \sim \vec E$)?

В сила, действующая на диполь в неоднородном поле является суммой сил, действующих на заряды диполя со стороны неоднородного поля: \begin{equation} (1) \hspace{10pt} \vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}=Q(\vec{E_2}-\vec{E_1}), \end{equation} где $\vec{E_1}$ — напряженность электрического поля в точке нахождения отрицательного заряда диполя ($-Q$); $\vec{E_2}$ — в точке нахождения положительного заряда диполя. Если поле слабо меняется на расстояниях диполя, то поле $\vec{E_2}$ можно разложить в ряд Тейлора и оставить в нем два первых отличных от нуля члена $$ \vec{E_2}=\vec{E}\Bigl(\vec{R}+\vec{\ell}\Bigr)\approx$$ $$\vec{E}(\vec{R})+ \ell_x\frac{\partial\vec{E}}{\partial x}\;+\; \ell_y\frac{\partial\vec{E}}{\partial y}\;+\; \ell_z\frac{\partial\vec{E}}{\partial z} =$$ $$ \vec{E_1}\;+\;(\vec{\ell}\,{\nabla})\vec{E}, $$ где $(\vec{\ell}\,{\nabla})$ — скалярное произведение вектора $\vec{\ell}$ и вектора ${\nabla}\!=\!\Big(\vec{i}\frac{\partial} {\partial x}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+ \vec{k}\,\frac{\partial}{\partial z}\Big)$. Подставим $\vec{E_2}$ в уравнение (1) и учитывая, что $\vec{P}=Q\vec{\ell}$, находим выражение для силы, действующей на диполь в слабонеоднородном поле: \begin{equation} (2) \hspace{10pt} \vec{F}=(\vec{P}{\nabla})\vec{E}. \end{equation} Если диполь «жесткий», т.е. не зависит от величины поля $\vec E$, то выражение (2), с учётом правил обращения с оператором "набла" - \(\nabla\), можно записать в виде:

Последнее равенство получено с учётом рассмотрения стационарного случая $\text{rot} \vec{E} =0$.

Если диполь «квазиупругий», тогда $\vec P$ зависит от величины поля $\vec E$ так, что $\vec P =\alpha \vec E$ то выражение (2) примет вид:

действительно: $$ \nabla(\vec{P}\vec{E})=(\vec{P}\nabla)\vec{E}+\left[\vec{P}\times\text{rot }\vec{E}\right]+(\vec{E}\nabla)\vec{P}+\left[\vec{E}\times\text{rot }\vec{P}\right]= $$ $$ =(\alpha\vec{E}\nabla)\vec{E}+\left[\alpha\vec{E}\times\text{rot }\vec{E}\right]+(\vec{E}\nabla)\alpha\vec{E}+\left[\vec{E}\times\text{rot }\alpha\vec{E}\right]= $$ $$ =(\alpha\vec{E}\nabla)\vec{E}+(\vec{E}\nabla)\alpha\vec{E}=2(\alpha\vec{E}\nabla)\vec{E}=2(\vec{P}\nabla)\vec{E}, $$ где мы воспользовались условием $\text{rot }\vec{P}=\text{rot }\alpha\vec{E}=\alpha \ \text{rot }\vec{E}=0$.