Оператор «набла» в декартовых координатах:

Через оператор «набла» записывается градиент: $$ \text{grad } u = \nabla u = \vec{e}_{x}\frac{\partial u}{\partial x}+\vec{e}_{y}\frac{\partial u}{\partial y}+\vec{e}_{z}\frac{\partial u}{\partial z}, $$ дивергенция, через скалярное произведение оператора и вектора: $$ \text{div } \vec a = (\nabla \cdot \vec a) = \frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}, $$ ротор, через векторное произведение оператора и вектора: $$ \text{rot } \vec a = [\nabla \times \vec a] = \left|\begin{array}{ccc} \vec{e}_{x} & \vec{e}_{y} & \vec{e}_{z}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ a_x & a_y & a_z \end{array}\right| . $$

Легко вычисляется действие оператора набла на координаты вектора $\vec r$, т.е. когда в качестве скалярной функции рассматривается координата:

это приводит к выделению соответствующих орт. Тогда действие на модуль радиус вектора $r=|\vec{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ должен приводить к выделению $\vec{n}$ — направления по этому вектору $\vec{r}$, так как мы всегда можем выбрать соответствующую систему координат, когда некоторая орта будет направлена по $\vec{r}=\vec{n}\cdot r$. Прямой проверкой это подтверждается: $$ \nabla r=\nabla\sqrt{r^{2}}=\left(\frac{d}{d\left(r^{2}\right)}\sqrt{r^{2}}\right)\nabla r^{2}= $$ $$ \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{r^{2}}}\cdot\left(\vec{e}_{x}2x+\vec{e}_{y}2y+\vec{e}_{z}2z\right)=\frac{\vec{r}}{r}=\vec{n}. $$ Итак:

Если рассмотреть вместо скалярной функции — произведение двух функций $u\,v, $ тогда действие градиента: \[ \nabla uv = u \nabla v + v\nabla u. \]

Рассмотрим, теперь, скалярную функцию, полученную из скалярного произведения двух векторов: $$ \nabla(\vec{a}\cdot\vec{b})=\nabla(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}). $$ Пусть вектор $\vec{a}$ — постоянный, тогда $$ \nabla(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{i}\left(a_{x}\frac{\partial}{\partial x}b_{x}+a_{y}\frac{\partial}{\partial x}b_{y}+a_{z}\frac{\partial}{\partial x}b_{z}\right)+ $$ $$ \vec{j}\left(a_{x}\frac{\partial}{\partial y}b_{x}+a_{y}\frac{\partial}{\partial y}b_{y}+a_{z}\frac{\partial}{\partial y}b_{z}\right)+\vec{k}\left(a_{x}\frac{\partial}{\partial z}b_{x}+a_{y}\frac{\partial}{\partial z}b_{y}+a_{z}\frac{\partial}{\partial z}b_{z}\right). $$ Давайте выделим слагаемые выражения $(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b}=\left(a_{x}\frac{\partial}{\partial x}+a_{y}\frac{\partial}{\partial y}+a_{z}\frac{\partial}{\partial z}\right)\vec{b}$, тогда $$ \nabla(\vec{a}\cdot\vec{b})=(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b}+\vec{i}\left(a_{y}\frac{\partial}{\partial x}b_{y}+a_{z}\frac{\partial}{\partial x}b_{z}-a_{y}\frac{\partial}{\partial y}b_{x}-a_{z}\frac{\partial}{\partial z}b_{x}\right)+ $$ $$ \vec{j}\left(a_{x}\frac{\partial}{\partial y}b_{x}+a_{z}\frac{\partial}{\partial y}b_{z}-a_{x}\frac{\partial}{\partial x}b_{y}-a_{z}\frac{\partial}{\partial z}b_{y}\right)+ $$ $$\vec{k}\left(a_{x}\frac{\partial}{\partial z}b_{x}+a_{y}\frac{\partial}{\partial z}b_{y}-a_{x}\frac{\partial}{\partial x}b_{z}-a_{y}\frac{\partial}{\partial y}b_{z}\right)= $$ $$ (\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b}+\vec{i}\left(a_{y}\left(\frac{\partial}{\partial x}b_{y}-\frac{\partial}{\partial y}b_{x}\right)+a_{z}\left(\frac{\partial}{\partial x}b_{z}-\frac{\partial}{\partial z}b_{x}\right)\right)+ $$ $$ \vec{j}\left(a_{x}\left(\frac{\partial}{\partial y}b_{x}-\frac{\partial}{\partial x}b_{y}\right)+a_{z}\left(\frac{\partial}{\partial y}b_{z}-\frac{\partial}{\partial z}b_{y}\right)\right)+ $$ $$ \vec{k}\left(a_{x}\left(\frac{\partial}{\partial z}b_{x}-\frac{\partial}{\partial x}b_{z}\right)+a_{y}\left(\frac{\partial}{\partial z}b_{y}-\frac{\partial}{\partial y}b_{z}\right)\right)= $$ $$ (\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b}+\vec{i}\left(a_{y}\left(\text{rot }\vec{b}\right)_{z}-a_{z}\left(\text{rot }\vec{b}\right)_{y}\right)+ $$ $$ \vec{j}\left(-a_{x}\left(\text{rot }\vec{b}\right)_{z}+a_{z}\left(\text{rot }\vec{b}\right)_{x}\right)+\vec{k}\left(a_{x}\left(\text{rot }\vec{b}\right)_{y}-a_{y}\left(\text{rot }\vec{b}\right)_{x}\right)= $$ $$ (\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b}+\left[\vec{a}\times\text{rot }\vec{b}\right], $$ таким образом, если вектор $\vec a$ постоянный, то:

Если $\vec b = \vec r$, то получим

но в этом можно убедиться и проще — прямым вычислением.

Если, теперь, в выражении $\nabla(\vec{a}\cdot\vec{b})$ оба вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ зависят от координат, то действие оператора набла сводится к поочерёдному действию на скалярное произведение $(\vec{a}\cdot\vec{b})$ так, что сначала один вектор $\vec{a}$ постоянный , а потом второй — $\vec{b}$. Тогда: $$ \nabla(\vec{a}\cdot\vec{b})=(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b}+\left[\vec{a}\times\text{rot }\vec{b}\right]+(\vec{b}\cdot\nabla)\vec{a}+\left[\vec{b}\times\text{rot }\vec{a}\right]. $$

Рассмотрим дивергенцию от произведения вектора $\vec a$ на скаляр $u$: $$ \text{div } \, u \vec a=(\nabla\cdot u \, \vec a)= \frac{\partial}{\partial x}(u \, a_x)+\frac{\partial}{\partial y} (u \, a_y)+\frac{\partial }{\partial z} (u \, a_z)= $$ $$ u \, \frac{\partial}{\partial x} a_x+ u \, \frac{\partial}{\partial y} a_y+ u \, \frac{\partial }{\partial z} a_z + a_x \frac{\partial}{\partial x}u + a_y \frac{\partial}{\partial y} u + a_z \frac{\partial }{\partial z} u= $$ $$ u \, (\nabla \cdot \vec a ) + (\vec a \cdot \nabla \, u) = u \, \text{div } \vec a + (\vec a \cdot \text{grad } u) . $$

Итак:

Давайте вычислим и остальные действия оператора $\nabla$ на вектор $\vec{r}$:

$$ \text{rot }\vec{r}= \left|\begin{array}{ccc} \vec{e}_{x} & \vec{e}_{y} & \vec{e}_{z}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ x & y & z \end{array}\right| =0, $$ так как производная берётся всегда не по своей координате, например, $$ \left(\text{rot }\vec{r}\right)_{x}=\frac{\partial}{\partial y}z-\frac{\partial}{\partial z}y=0-0=0. $$ Итак:

Ещё одно важное тождество: