4.66. Определить эффективное сечение рассеяния свободным зарядом поляризованной волны с поляризацией: а) линейной; б) круговой; в) эллиптической.

Вначале определимся, что будем понимать под дифференциальным сечением рассеяния? $$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle }{\left\langle S_{0}\right\rangle },$$ где $\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle $ — угловое распределение интенсивности вынужденного излучения, $\left\langle S_{0}\right\rangle $ — среднее значение вектора Пойнтинга падающего излучения.

Пусть плоская гармоническая волна летит вдоль направления $z,$ электрическое поле направлено вдоль оси $x.$ Тогда движение свободной частицы в поле такой волны описывается уравнением $$ m\ddot{x}=eE_{0}e^{-i\omega t}, $$ следовательно, $$\ddot{p}=e\ddot{x}=\frac{e^{2}E_{0}}{m}e^{-i\omega t}.$$ В дипольном приближении средний поток энергии излучения частицы в единицу телесного угла с учётом решения в задаче 4.7. $$\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle = \frac{\left\langle \ddot{p}^{2}\right\rangle \sin^{2}\theta}{4\pi c^{3}}= \frac{e^{4}E_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{4\pi c^{3}m^{2}}\frac 12 |e^{-i\omega t}|^{2} = \frac{e^{4}E_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{8\pi c^{3}m^{2}}. $$ С учётом того, что для падающей волны: $$\left\langle S_{0}\right\rangle =\frac{c}{4\pi}\left\langle E^{2}\right\rangle = \frac{cE_{0}^{2}}{8\pi},$$ окончательно получим $$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\left(\frac{e^{2}}{mc^{2}}\right)^{2}\sin^{2}\theta= r_{e}^{2}\sin^{2}\theta. $$ Угол $\theta$ — угол между электрическим полем $\vec{E}$ падающей волны и направлением рассеяния: $$\sin\theta=\frac{\left[\vec{E}_{0}\times\vec{n}\right]}{E_{0}}. $$ Для вращающегося заряда в поле с круговой и эллиптической поляризацией: $$\vec{E}=\vec{A}\cos\omega t+\vec{B}\sin\omega t $$ разложим как поле так и решение на две линейные поляризации, тогда $$\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle = \frac{\left\langle \left[\ddot{\vec{p}}\times\vec{n}\right]^{2}\right\rangle }{4\pi c^{3}}=\frac{e^{4}\left(\left[\vec{A}\times\vec{n}\right]^{2}+\left[\vec{B}\times\vec{n}\right]^{2}\right)}{8\pi c^{3}m^{2}} $$ и $$ \left\langle S_{0}\right\rangle =\frac{c}{4\pi}\left\langle E^{2}\right\rangle = \frac{c\left(A^{2}+B^{2}\right)}{8\pi} $$ так, что $$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\left(\frac{e^{2}}{mc^{2}}\right)^{2}\frac{\left[\vec{A}\times\vec{n}\right]^{2}+\left[\vec{B}\times\vec{n}\right]^{2}}{A^{2}+B^{2}}. $$