4.7. Найти: а) угловое распределение интенсивности излучения $\frac{dI}{d\theta}$ от диполя; б) полное излучение $\frac{dW}{d t}$ от дипольного излучателя.

$$B_{\alpha}=\left(\frac{\omega}{c}-\frac{i}{r}\right)\frac{\omega}{cr}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta\approx\frac{\omega^{2}}{c^{2}r}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta.$$

Интенсивность излучения в телесный угол $d\Omega$ определяется как количество энергии, протекающее в единицу времени через элемент площади $$ds=r^{2}d\Omega.$$ Поток энергии определяется вектором Пойнтинга $$\vec{S}=\frac{c}{4\pi}\left[\vec{E}\times\vec{H}\right]=\frac{c}{4\pi}\left[\left[\vec{H}\times\vec{n}\right]\times\vec{H}\right]=\frac{cH^{2}}{4\pi}\vec{n}.$$ С учётом дипольного излучения когда $$\vec{H}=\frac{1}{c^{2}r}\left[\ddot{\vec{p}}\times\vec{n}\right]$$ получим, что $$dI=Sds=\frac{cH^{2}}{4\pi}r^{2}d\Omega=\frac{\ddot{p}^{2}\sin^{2}\theta}{c^{3}4\pi}d\Omega=\frac{\ddot{p}^{2}\sin^{3}\theta}{2c^{3}}d\theta,$$ где использовали, что $$d\Omega=2\pi\sin\theta\,d\theta,$$ таким образом $$\frac{dI}{d\theta}=\frac{\ddot{p}^{2}\sin^{3}\theta}{2c^{3}}.$$ Интегрируем по углу $$I=\intop_{0}^{\pi}\frac{\ddot{p}^{2}\sin^{3}\theta}{2c^{3}}d\theta=\intop_{0}^{\pi}\frac{\ddot{p}^{2}\sin^{2}\theta}{2c^{3}}d\cos\theta= $$ $$ -\intop_{0}^{\pi}\frac{\ddot{p}^{2}\left(1-\cos^{2}\theta\right)}{2c^{3}}d\cos\theta=-\frac{\ddot{p}^{2}}{2c^{3}}\left.\left(\cos\theta-\frac{\cos^{3}\theta}{3}\right)\right|_{0}^{\pi}=\frac{2\ddot{p}^{2}}{3c^{3}}.$$