4.3. а) На шар радиуса $R$ плотно намотана проволока так, что плоскости витков параллельны, витки плотно прилегают друг к другу. Число витков $N.$ По проволоке пустили ток $J.$ Найти магнитное поле в центре шара.

Воспользуемся формулой с формулой (2) из задачи 4.1 для поиска поля на оси от дифференциального тока в кольце $dJ = \frac{JN}{\pi}d\varphi $ (введя плотность тока на единицу угла $\frac{JN}{\pi}$, т.к. витки намотаны вплотную по по поверхности): $$dH_{z}=\frac{2\pi}{c}\frac{a^{2}}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}}\cdot\frac{JN}{\pi}d\varphi .$$ Подставив в формулу значения $z=R\cos\varphi$, $a=R\sin\varphi$ придём к выражению: $$ dH_{z}=\frac{2\pi}{c}\frac{\sin^{2}\varphi}{R}\cdot\frac{JN}{\pi}d\varphi=JN\frac{1-\cos2\varphi}{cR}d\varphi . $$ Проинтегрируем его: $$ H_{z}=\intop_{0}^{\pi}JN\frac{1-\cos2\varphi}{cR}d\varphi=\frac{JN\pi}{cR}. $$