1.15. Найти потенциал $\varphi$ и напряженность $\vec{E}$ электрического поля:
а) на оси $Z$ круглого тонкого диска радиуса $R$;
б) равномерно заряженной бесконечной плоскости;
в) на оси $Z$ круглого отверстия радиуса $R$, сделанного в плоскости $z=0$. Плоскость и диск равномерно заряжены с плотностью $\sigma$.
а)
Для вычислении потенциала выделим на диске кольцо
радиуса $r$ ширины $dr$. На элементе длины кольца $d\ell~=~r\,d\alpha$ находится количество заряда $$dq=\sigma d\ell\,dr=\sigma r\,dr\,d\alpha.$$ Потенциал, создаваемый этим зарядом на оси на расстоянии $z$ от диска, равен $\frac{dq}{\sqrt{z^2+r^2}}$. Потенциал, создаваемый кольцом радиуса $r$ ширины $dr$, $$ d\varphi=\frac{2\pi\sigma r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}}. $$ Тогда
$$ \varphi=2\pi\sigma\int\limits_0^R\frac{r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}} =2\pi\sigma\,\big(\sqrt{z^2+R^2}-|z|\big), $$ откуда $$ E_z=-\frac{\partial\varphi}{\partial z}= 2\pi\sigma\biggl(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\biggr). $$
б)
Пусть бесконечная заряженная плоскость занимает положение плоскости ($x, y$). В силу симметрии распределения зарядов, вектор $\vec{E}$ электрического поля может зависеть только от координаты $z$ и должен быть перпендикулярен плоскости. Он направлен к плоскости, если ее заряд отрицателен. Поэтому напряженность электрического поля для равномерно заряженной бесконечной плоскости можно найти предельным переходом при $R\to\infty$ в формуле для поля, создаваемого диском радиуса $R$ на оси диска. Получаем
$$E_z=2\pi\sigma\frac{z}{|z|}.$$
Заметим, что предельный переход в формуле для потенциала приводит к бесконечности, что, в общем то, и следовало ожидать, т.к. случай не совсем физический и связан с бесконечным зарядом на бесконечной плоскости. Для нахождения распределение потенциала используем интеграл: $$ \varphi=-\int \limits_0^z E_z dz=-2\pi\sigma \int \limits_0^z dz=-2\pi\sigma z. $$ При этом мы выбрали потенциал равным нулю на плоскости. Поле в нижнем полупространстве будет таким же (знак не поменяется), следовательно,
$$\varphi=-2\pi\sigma |z|.$$
Напряженность электрического поля на заряженной плоскости терпит скачок, равный $4\pi\sigma$, как и следует из граничного условия $${E_{2n}|-E_{1n}|=4\pi\sigma.}$$
в)
Поле, создаваемое плоскостью с отверстием, можно рассматривать как суперпозицию двух полей: поля плоскости без отверстия, заряженной с плотностью $\sigma$, и поля диска радиуса $R$, заполняющего отверстие и заряженного с плотностью $-\sigma$. Поэтому
$$ E_z=2\pi\sigma\,\frac{z}{|z|}- 2\pi\sigma\,\biggl(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\biggr)= 2\pi\sigma\,\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}. $$
Распределение потенциала на оси отверстия
$$ \varphi=\int E_z\,dz+\text{const}=-2\pi\sigma\,\sqrt{R^2+z^2}+\text{const}. $$
Константу можно выбрать равной нулю, это будет означать, что потенциал в центре отверстия $\varphi(0)=-2\pi\sigma R$.