2.14. Пространство между обкладками сферического конденсатора частично заполнено диэлектриком, расположенным внутри телесного угла $\Omega$ с вершиной в центре обкладок. Радиусы обкладок — $a$ и $b$, проницаемость диэлектрика — $\varepsilon$. Найти емкость конденсатора.

В сферическом конденсаторе поле $\vec E$ направлено по радиусу $\vec r$. Такое решение получится если решать задачу $\Delta \varphi =0$ в пространстве между обкладками исходя из сферической симметрии задачи или из симметрии и теоремы Гаусса.

Если конденсатор заполнен диэлектриком, то ситуация не меняется. Если же теперь только часть пространства, расположенного в некотором телесном угле — $\Omega $ заполнена диэлектриком, а оставшаяся не заполнена, то симметрия нарушается.

В двух областях будут свои поля $\vec E_i,$ $\vec D_i$ с $i\in \{1, 2\}.$ Причём на границе должны сшиваться тангенциальные (к границе) составляющие электрического поля $E_{t1}=E_{t2}.$ При этом интеграл $$ \int \limits _{L_1}(\vec E_1 \cdot d \vec \ell)=\int \limits _{L_2}(\vec E_2 \cdot d \vec \ell) ,$$ где $L_i$ — пути интегрирования соединяющие две обкладки конденсатора в одной и другой средах. Разность потенциалов совпадает, т.к. обкладки металлические. На границе разделов двух сред свободных зарядов нет, следовательно, нормальные (к границе раздела сред) составляющие $D_{n1}=D_{n2}$. Но тогда, можно предположить, что из симметрии задачи эти составляющие должны быть равны нулю.

Из теоремы Гаусса найдём заряд на внутренней обкладке конденсатора: $$ 4\pi q=\oint\limits_{S_1+S_2}(\vec{D}\,d\vec{s})=\int \limits_{S_1}\varepsilon E\,ds+\int \limits_{S_2}E\,ds = $$ $$ \varepsilon E r^2\Omega+E r^2 (4\pi - \Omega). $$ Разность потенциалов: $$ U=\int \limits _a^b E \,dr = \int \limits _a^b \frac{4\pi }{\varepsilon \Omega+ (4\pi - \Omega)} \frac 1{r^2}\,dr = \frac{4\pi }{\varepsilon \Omega+ (4\pi - \Omega)} (\frac 1a -\frac 1b). $$ Таким образом ёмкость составного сферического конденсатора: $$ C = \frac{q}{U}= \frac{{a b}}{{b - a }}\left( {1 - \frac{\Omega }{{4\pi }} + \varepsilon \frac{\Omega }{{4\pi }}} \right) = $$ $$ \frac{{a b}}{{b - a}}\left( {1 - \frac{\Omega }{{4\pi }}\left( {1 - \varepsilon } \right)} \right). $$