2.33. Показать, что для $E$–волны ($H$–волны), распространяющейся вдоль прямоугольного пустого волновода, граничные условия для $\vec{E}$ и $\vec{H}$ выполнены, если на стенках волновода $E_{z}=0$ ( $\frac{\partial H_{z}}{\partial n}=0$).

В задаче 2.32 получены соотношения между компонентами поля:

$$ H_{x0}=\frac{i}{\varkappa^{2}}\left(\frac{\varepsilon\omega}{c}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}-k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right), \hspace{10pt} E_{x0}=\frac{-i}{\varkappa^{2}}\left(\frac{\mu\omega}{c}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+k_{z}\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}\right), $$ $$ H_{y0}=\frac{-i}{\varkappa^{2}}\left(k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+\frac{\varepsilon}{c}\omega\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}\right), \hspace{10pt} E_{y0}=\frac{i}{\varkappa^{2}}\left(-k_{z}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}+\frac{\mu}{c}\omega\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right). $$ Тогда условие $E_{t}=0$ на стенках волновода для $E$–волны — это $E_{x0}=0$ при $y=0$ и $y=b,$ т.е. $E_{x0}(x,0)=E_{x0}(x,b)=0$ всюду при произвольном $x,$ но если $E_{z0}=0$ на границе, то и производная так же будет равна нулю. Аналогично для $E_{y0}(0,y)=E_{y0}(a,y)=0$ при $x=0$ и $x=a$ — на границе $y$–ковых стенок.