2.32. Найти связь между поперечными компонентами полей и продольной составляющей электрического поля $E_z$ для монохроматической $E$–волны (или TM–волны), распространяющейся вдоль прямоугольного пустого волновода. Найти уравнение для составляющей поля $E_z.$ То же для $H$–волны (или ТЕ–волны).

Волновод представляет собой полость неограниченной длины. Распространение электромагнитных волн в волноводе принципиально отличается от распространения неограниченных в пространстве плоских волн. Пусть длины сторон прямоугольного сечения равны $a$ и $b,$ ось $Z$ направлена вдоль волновода, а среда, заполняющая волновод, характеризуется диэлектрической и магнитной проницаемостями соответственно $\varepsilon $ и $\mu .$

Рассмотрим волновые уравнения $$ \Delta \vec E = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} \ \ \text{ и } \ \ \Delta \vec H = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \vec H}{\partial t^2}, $$ где $v=\frac c{\sqrt{\varepsilon \mu}}$. Будем искать решение в виде бегущей по оси $Z$ волне $$ \vec E=\vec E_0(x,y)e^{i(\omega t - k_z z)} \ \ \text{ и } \ \ \vec H=\vec H_0(x,y)e^{i(\omega t - k_z z)}. $$ Связь между векторами $\vec E$ и $\vec H$ определяется уравнениями Максвелла: $$rot\vec{E}=-\frac{\mu}{c}\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}, \hspace{10pt} rot\vec{H}=\frac{\varepsilon}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.$$

распишем уравнения покомпонентно, с учётом $$\vec{E}=\vec{E}_{0}(x,y)e^{i(\omega t-k_{z}z)}, \hspace{10pt} \vec{H}=\vec{H}_{0}(x,y)e^{i(\omega t-k_{z}z)}: $$ $$rot\vec{E}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{e}_{x} & \vec{e}_{y} & \vec{e}_{z}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ E_{x} & E_{y} & E_{z} \end{array}\right|=\vec{e}_{x}\left(\frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}\right)+\vec{e}_{y}\left(\frac{\partial E_{x}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial x}\right)+\vec{e}_{z}\left(\frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}\right)= $$ $$\vec{e}_{x}\left(\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}+ik_{z}E_{y0}\right)+\vec{e}_{y}\left(-ik_{z}E_{x0}-\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}\right)+\vec{e}_{z}\left(\frac{\partial E_{y0}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x0}}{\partial y}\right)=-\frac{\mu}{c}i\omega\vec{H}_{0}.$$

аналогично для второго уравнения

$$rot\vec{H}=\vec{e}_{x}\left(\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+ik_{z}H_{y0}\right)+\vec{e}_{y}\left(-ik_{z}H_{x0}-\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right)+\vec{e}_{z}\left(\frac{\partial H_{y0}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x0}}{\partial y}\right)=\frac{\varepsilon}{c}i\omega\vec{E}_{0}.$$

Приходим к системе уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{c} \frac{\partial E_{z0}}{\partial y}+ik_{z}E_{y0}=-\frac{\mu}{c}i\omega H_{x0}\\ ik_{z}E_{x0}+\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}=\frac{\mu}{c}i\omega H_{y0}\\ \frac{\partial E_{y0}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x0}}{\partial y}=-\frac{\mu}{c}i\omega H_{z0}\\ \frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+ik_{z}H_{y0}=\frac{\varepsilon}{c}i\omega E_{x0}\\ ik_{z}H_{x0}+\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}=-\frac{\varepsilon}{c}i\omega E_{y0}\\ \frac{\partial H_{y0}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x0}}{\partial y}=\frac{\varepsilon}{c}i\omega E_{z0} \end{array}\right.$$

в первое ур-е подставим 5-е

$$\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}-k_{z}\frac{1}{\frac{\varepsilon}{c}\omega}\left(ik_{z}H_{x0}+\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right)=-\frac{\mu}{c}i\omega H_{x0}$$

$$\frac{\varepsilon\omega}{c}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}-k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}=ik_{z}^{2}H_{x0}-i\frac{\mu\varepsilon}{c^{2}}\omega^{2}H_{x0}=i\left(k_{z}^{2}-\frac{\mu\varepsilon}{c^{2}}\omega^{2}\right)H_{x0}=-i\varkappa^{2}H_{x0}$$

где $\varkappa^{2}=\frac{\mu\varepsilon}{c^{2}}\omega^{2}-k_{z}^{2}$ так, что

$$H_{x0}=\frac{i}{\varkappa^{2}}\left(\frac{\varepsilon\omega}{c}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}-k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right).$$

Так как первая тройка уравнений отличается от второй тройки заменой $$E_{i}\leftrightarrow H_{i} \ \ \text{ и } \ \ \mu\leftrightarrow-\varepsilon,$$ то можем записать и второе уравнение:

$$E_{x0}=\frac{-i}{\varkappa^{2}}\left(\frac{\mu\omega}{c}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+k_{z}\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}\right).$$

Теперь из второго и 4-го уравнений:

$$ik_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+\frac{\varepsilon}{c}i\omega\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}=\left(k_{z}^{2}-\frac{\varepsilon\mu}{c^{2}}\omega^{2}\right)H_{y0}=-\varkappa^{2}H_{y0}$$

так, что

$$H_{y0}=\frac{-i}{\varkappa^{2}}\left(k_{z}\frac{\partial H_{z0}}{\partial y}+\frac{\varepsilon}{c}\omega\frac{\partial E_{z0}}{\partial x}\right)$$

и после замены:

$$E_{y0}=\frac{i}{\varkappa^{2}}\left(-k_{z}\frac{\partial E_{z0}}{\partial y}+\frac{\mu}{c}\omega\frac{\partial H_{z0}}{\partial x}\right).$$

В полученных решениях можно выделить две чистых волны: $E$–волну, когда $H_{z0}=0$ и, наоборот, $H$–волну, когда $E_{z0}=0$. Таким образом поле в резонаторе можно характеризовать только одной компонентой поля $z$ — составляющей, которая удовлетворяет волновому уравнению:

$$\Delta E_{z0}=\frac{\varepsilon\mu}{c^{2}}\frac{\partial^{2}E_{z0}}{\partial t^{2}}$$

откуда с учётом $\vec{E}=\vec{E}_{z0}(x,y)e^{i(\omega t-k_{z}z)}$ придём к двумерному волновому уравнению:

$$\frac{\partial^{2}E_{z0}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{z0}}{\partial y^{2}}+\varkappa^{2}E_{z0}=0.$$