2.10. Оценить ёмкость:

а) металлической пластинки с размерами $h\ll a\ll\ell$ и

б) цилиндра с $a\ll\ell$.

а) Рассмотрим потенциал пластины на расстояниях \(x \gg \ell\). На этом расстоянии можно всю пластину считать точкой и хорошим приближением к потенциалу является кулоновский потенциал точечного заряда \[ \varphi _1 (x) \approx \frac{q}{x} \] На расстоянии \(x\) таком, что \(a \ll x \ll \ell\) исследуемую пластину можно считать нитью. Тогда \[ \varphi _2 (x) \approx - 2\frac{q}{\ell}\ln \frac{x}{a} + A, \] где \(A\) – произвольная константа. На расстояниях \(x \ll a \) эту пластину можно считать бесконечной плоскостью толщиной \( h\). \[ \varphi _3 (x) = - 2\pi \left( {\frac{q}{{al}}} \right)x + B. \] Для нахождения констант приравняем потенциалы в промежуточных точках. При \(x \sim \ell \) приравниваем \(\varphi _1 \) и \(\varphi _2 \), т.е. \[ \frac{q}{\ell} = - 2\frac{q}{\ell}\ln \frac{\ell}{a} + A, \] откуда \[ A = \frac{q}{\ell}\left( {1 + 2\ln \frac{\ell}{a}} \right). \] При \(x \sim a\) сшиваем \(\varphi _2 \) и \(\varphi _3\), т.е. \[ - 2\frac{q}{\ell}\ln 1 + \frac{q}{\ell}\left( {1 + 2\ln \frac{\ell}{a}} \right) = - 2\pi \left( {\frac{q}{{a\ell}}} \right)a + B, \] откуда \[ B = \frac{q}{\ell}\left\{ {2\pi + 1 + 2\ln \frac{\ell}{a}} \right\}. \] Емкость по определению это отношение заряда на проводнике к его потенциалу. \[ C = \frac{q}{{\varphi _3 (0)}} = \frac{q}{B} = \frac{\ell}{{1 + 2\pi + 2\ln \frac{\ell}{a}}} \sim \frac{\ell}{{2\left( {\pi + \ln \frac{\ell}{a}} \right)}}. \] б) Для цилиндра с радиусом \(a \) и длиной цилиндра \(\ell\), где \(a \ll \ell\) потенциал этого цилиндра на расстоянии \(x \gg \ell\) \[ \varphi _1(x) = \frac{q}{x} . \] При \(a \ll x \ll \ell\) потенциал цилиндра \[ \varphi _2 = - 2\frac{q}{\ell}\ln \frac{x}{a} + A. \] Для нахождения константы приравняем потенциалы \(\varphi _1 = \varphi _2\) в пограничной точке \(x \sim \ell \) \[ - 2\frac{q}{\ell}\ln \frac{\ell}{a} + A = \frac{q}{\ell}. \] Тогда \[ A = \frac{q}{\ell} + 2\frac{q}{\ell}\ln \frac{\ell}{a} = \frac{q}{\ell}\left( {1 + 2\ln \frac{\ell}{a}} \right) \] и, окончательно \[ C = \frac{q}{{\varphi _2 (a)}} = \frac{\ell}{{1 + 2\ln \frac{\ell}{a}}} \approx \frac{\ell}{{2\ln \frac{\ell}{a}}} \]