В верхнем полупространстве потенциал поля, создаваемого зарядом $q$ и индуцированными зарядами на проводнике, можно представить как потенциал поля, создаваемого зарядом $q$ и его изображением $q'=-q$ по другую сторону плоскости раздела на таком же расстоянии от нее.

Действительно, потенциал поля точечных зарядов $q$ и $q'$ в какой-либо точке $A$ над поверхностью проводника \begin{equation} (1) \hspace{10pt} \varphi=q\biggl(\frac{1}{r_+}-\frac{1}{r_-}\biggr), \hspace{10pt} \mbox{при}\hspace{10pt} z\geq 0\,. \end{equation} Этот потенциал обращается в нуль на поверхности проводника $(r_+=r_-)$, а поэтому поверхность проводника будет эквипотенциальной поверхностью в системе зарядов $q$ и $(-q)$.

Функция (1) является решением уравнения Пуассона $$ \Delta\varphi =- 4\pi \sum q_i\delta(\vec{r}-\vec{r_i}) $$ для верхнего полупространства $z\geq 0$, где $\delta(\vec{r})\;$ — это дельта функция.

Раз решение (1) — решение уравнения Пуассона удовлетворяет граничному условию нашей задачи, а именно: $\varphi(\vec{r})=0\;$ при $z=0$, то по теореме единственности оно и есть искомое и единственное решение нашей задачи.

В нижнем полупространстве, заполненном проводящей средой, поле равно нулю. Тогда решение для всего пространства: $$ \vec{E}=\frac{q\vec{r_+}}{r_+^3}- \frac{q\vec{r_-}}{r_-^3}\,,\hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} z> 0, $$ $$ \vec{E}=0\,, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} z<0\,. $$

Индуцированные заряды притягивают заряд $q$ с той же силой, что и фиктивный заряд $q'=-q$, поскольку он создает в верхнем полупространстве такое же поле, что и индуцированные заряды. Эта сила равна $$ \vec{F}=-\frac{q^2}{4a^2}\,\frac{\vec{z}}{z}. $$ Поверхностная плотность индуцированных зарядов найдется по формуле $$ \sigma=\frac{1}{4\pi}E_z\Big|_{z=0}=- \frac{q}{2\pi a^2}\cos^3\theta\,, $$ где $E_z\Big|_{z=0}$ — нормальная составляющая поля при $z=0\,$.

Полный заряд, индуцированный на поверхности проводника: $$ Q=-\int\limits_{0}^{\pi/2} \frac{q}{2\pi a^2}\cos^3\theta \cdot 2\pi a^2\frac{\sin\theta}{\cos^3\theta}\,d\theta= -q\,. $$