4.24. Найти магнитное поле полубесконечного соленоида на расстоянии $r$ от его торца $(r\gg \sqrt{S})$ под углом $\theta$ к его оси. Ток в соленоиде — $J$, число витков на единицу длины — $n$, сечение — $S$.

Поле от каждого витка соленоида \[ \vec B_m = \frac{{3\vec r\left( {\vec m\vec r} \right)}}{{r^5 }} - \frac{{\vec m}}{{r^3 }} \] \[ \vec m = \frac{{\pi a^2 }}{c}J\vec n_z \] \(\rho\)–проекция \(B\vec m\) от \(ndz\) витков. \[ dB_\rho = B_{m,\rho} ndz \] \[ B_{m,\rho} = \frac{{3m}}{{r^3 }}\sin \theta \cos \theta \] \[ \cos \theta = \frac{\rho }{r} = \frac{1}{r} \] Подставляя в это выражение $$\;\cos\theta=\frac{1}{R}(b\,\text{ctg}\theta_0-z)\,, \sin\theta=\frac{\rho}{R}\,, R=\sqrt{\rho^2+(b\,\text{ctg}\theta_0-z)^2}$$ и интегрируя по $\,z\;$ $\;dB_{\rho}$, получаем $$B_{\rho}=3mn\,\int\limits_0^{\infty}\frac{(b\,\text{ctg}\theta_0-z)\,dz} {\Big(\rho^2+(b\,\text{ctg}\theta_0-z)^2\Big)^{5/2}}= -\frac{mn\rho}{(\rho^2+b^2\,\text{ctg}^2\theta_0)^{3/2}}\,.$$

\noindent Вычисляя подобным образом $\;B_{z}$, находим, что $$B_{z}=mn\,\int\limits_0^{\infty}\frac{2(b\,\text{ctg}\theta_0-z)^2-\rho^2} {\Big(\rho^2+(b\,\text{ctg}\theta_0-z)^2\,\Big)^{5/2}}\,dz= -\frac{mnb\,\text{ctg}\theta_0}{(\rho^2+b^2\,\text{ctg}^2\theta_0)^{3/2}}\,.$$ Таким образом, \begin{equation} \vec{B}=-mn\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,, \end{equation} где $\;r=(\rho^2+b^2\,\text{ctg}^2\theta_0)^{1/2}$ — расстояние от начала соленоида до точки наблюдения. Поле является полным аналогом поля точечного магнитного заряда.

$ \vec H = \frac{q_m \vec r}{r^3 }$, где $q_m = \frac{JnS}{c}$ — магнитный заряд соленоида.